Bestäm f'(x) grafisk och algebraisk (Matematik/Matte 3)

Använd kurvans nollställen alltså där grafen skär x-axeln. Ett tredjegradspolynom med tre reella nollställen som i detta fall kan skrivas

$f (x) = (x - n_{1}) (x - n_{2}) (x - n_{3})$

där $n_{1}, n_{2}, n_{3} ä r g r a f e n / f u n k t i o n e n / k u r v a n s n o l l s t ä l l e n$

Sen för att få ekvationen på form som är enkel att derivera kan du multiplicera ihop parenteserna

Jonto skrev:
Använd kurvans nollställen alltså där grafen skär x-axeln. Ett tredjegradspolynom med tre reella nollställen som i detta fall kan skrivas
$f (x) = (x - n_{1}) (x - n_{2}) (x - n_{3})$
där $n_{1}, n_{2}, n_{3} ä r g r a f e n / f u n k t i o n e n / k u r v a n s n o l l s t ä l l e n$
Sen för att få ekvationen på form som är enkel att derivera kan du multiplicera ihop parenteserna

Detta är alltså för att lösa den algebraisk?

Vilka 2 punkter är F’(x)=1 (andra uppgiften) isåfall??

Jag förstår inte helt vad din fråga är men du önskade att få fram kurvans ekvation vilket enklast görs på det sättet.

$f (x) = (x - (- 1) (x - 2) (x - 4) = (x + 1) (x - 2) (x - 4)$ vilket sedan kan multipliceras ihop och utvecklas och sen deriveras, så bestämmer man derivatan algebraiskt, ja.

Sen när du har derivatan så kan du om du vill lösa f´(x)=1 sätta in detta villkor och lösa som en vanlig andragradsekvation

För stt bestämma $f'(x) = 1$ grafiskt kan du lägga en linjal med 45° lutning över grafen (som den blåa linjen nedan) och parallellförflytta den tills den tangerar grafen. Vid dessa tangeringspunkten är $f'(x) = 1$ .

För algebriska lösningar behöver du ta fram funktionsuttrycket. Då kan du förutsätta att det är en graf av en tredjegradsfunktion och kan då använda Jontos förslag att använda de tre nollställena för att hitta funktionsuttrycket på faktorform.

Men det saknas en konstant faktor $k\neq 0$ , som dels avgör riktningen, dels avgör brantheten på grafen och därmed exrrempunkternas placering.

Det ska alltså vara $f(x)=k(x+1)(x-2)(x-4)$ , där du kan bestämma konstanten $k$ genom att lösa ekvationen $y=f(x)$ för en känd fjärde punkt $(x,y)$ på grafen.

Punkten $(1, 3)$ verkar vara en lämplig kandidat för detta.

Punkten (1,3) funkar utmärkt, men jag skulle ha valt (0,4).

Jonto skrev:
Använd kurvans nollställen alltså där grafen skär x-axeln. Ett tredjegradspolynom med tre reella nollställen som i detta fall kan skrivas
$f (x) = (x - n_{1}) (x - n_{2}) (x - n_{3})$
där $n_{1}, n_{2}, n_{3} ä r g r a f e n / f u n k t i o n e n / k u r v a n s n o l l s t ä l l e n$
Sen för att få ekvationen på form som är enkel att derivera kan du multiplicera ihop parenteserna

Stämmer detta Jonto ?

Nollställen: -1 2 4

Jag räknar ut f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) --> f(x)= $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8$

Då blir f(0)=8

Men kurvan går inte genom (0,8) ??????

Vad är fel?

Vad är fel?

Jonto hoppade över en term i sitt uttryck: En tredjegradsfunktion kan skrivas $f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ . Konstanten $k$ spelar ingen roll när man skall lösa tredjegradsekvaitonen, men den behövs sedan. Det du har är alltså att $k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=8$ . Vilket värde har $k$ ?

Detta ger kurvan i uppgiften

f(x) = $\frac{1}{2} (x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8)$

Smaragdalena skrev:
Punkten (1,3) funkar utmärkt, men jag skulle ha valt (0,4).

Ja den är ju enklare att använda förstås.

Det borde stå i uppgiftstexten att det rör sig om ett tredjegradspolynom. Gjorde det det?

Laguna skrev:
Det borde stå i uppgiftstexten att det rör sig om ett tredjegradspolynom. Gjorde det det?

Tyvärr inte, det stod bara att jag skulle lösa F'(x) = 1 algebraisk

hjalpmedfysik skrev:
Laguna skrev:
Det borde stå i uppgiftstexten att det rör sig om ett tredjegradspolynom. Gjorde det det?
Tyvärr inte, det stod bara att jag skulle lösa F'(x) = 1 algebraisk

Om det inte någonstans framgår att f(x) är ett tredjegradspolynom så skulle jag uttryckligen skriva att jag antar att så är fallet, ta fram funktionsuttrycket enligt ovan och sedan kontrollera om det verkar stämma genom att till exempel

jämföra värdet av f(1) och f(3) med grafen
jämföra lösningarna till f'(x) = 0, f'(x) = 1 och f'(x) = -1 med grafen.

På det sättet visar du att du förstår sammanhanget och hur de algebraiska uttrycken och ekvationerna förhåller sig till funktionens graf, vilket är det viktiga med denna uppgift.

Får be om ursäkt för den missade konstanten före ekvationen som också måste bestämmas vilket bereder lite extrajobb. Tur att det kom in andra och påpekade detta-

larsolof skrev:
Detta ger kurvan i uppgiften
f(x) = $\frac{1}{2} (x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8)$

har fått så mycket information att jag blir förvirrad, vart ska jag börja?

hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
Detta ger kurvan i uppgiften
f(x) = $\frac{1}{2} (x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8)$
har fått så mycket information att jag blir förvirrad, vart ska jag börja?

Att lösa f'(x) = 0 grafiskt verkar du ha klarat själv, iallafall hade du rätt ansats redan i ditt första inlägg.

Jag har givit dig ledtrådar till hur du kan lösa f'(x) = 1 både grafiskt och algebraiskt i detta svar.

Förstod du varför vi utifrån grafen kan skriva funktionen som

$f (x) = k (x + 1) (x - 2) (x - 4)$

efter att ha studerat nollställena. Problemet är bara att där finns en konstant k som vi fortfarande ej känner till. Om du dock väljer en valfri punkt på grafen och sätter in i stället för x och f(x) så kommer du kunna lösa ut k.

Testa detta. Du ser ju exempelvis i Larsolofs inlägg vad den kommer bli.

När du bestämt k så har du tolkat grafen och fått fram dess ekvation. Det är egentligen bara massa förarbete

Sen ska du börja derivera och bestämma derivatan algebraiskt

Jonto skrev:
Förstod du varför vi utifrån grafen kan skriva funktionen som
$f (x) = k (x + 1) (x - 2) (x - 4)$
efter att ha studerat nollställena. Problemet är bara att där finns en konstant k som vi fortfarande ej känner till. Om du dock väljer en valfri punkt på grafen och sätter in i stället för x och f(x) så kommer du kunna lösa ut k.
Testa detta. Du ser ju exempelvis i Larsolofs inlägg vad den kommer bli.
När du bestämt k så har du tolkat grafen och fått fram dess ekvation. Det är egentligen bara massa förarbete
Sen ska du börja derivera och bestämma derivatan algebraiskt

1. När F'(x) = 1 så skulle jag rita en linje med 45graders lutning över grafen, här undrar jag ifall det alltid är 45graders lutning när F'(x) = 1?

2. larsolof skrev

Nollställen: -1 2 4

Jag räknar ut f(x) = (x+1)(x-2)(x-4) --> f(x)=x3−5x2+2x+8

Då blir f(0)=8

men så hoppade han över en term, så det skall egentligen stå f(x) = k(x+1)(x-2)(x-4), vilket blir f(x) (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8).

Deriverar jag det så blir det f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1, hur gör jag sen?

Så långt ser ut att ha varit rätt deriverat.

Att lösa F´(x)=1 är att säga "när är derivatan lika med 1"?

Så sätt ditt uttryck för derivatan lika med 1 och sen löser du ut x som en vanlig andragradsekvation med valfri metod ex. p-q formel eller kvadratkomplettering.

1) Det är alltid är 45graders lutning när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.

2) Nu har du fått fram f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt 1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

Jonto skrev:
Så långt ser ut att ha varit rätt deriverat.
Att lösa F´(x)=1 är att säga "när är derivatan lika med 1"?
Så sätt ditt uttryck för derivatan lika med 1 och sen löser du ut x som en vanlig andragradsekvation med valfri metod ex. p-q formel eller kvadratkomplettering.

1,5x^(2)-5x+1 = 1

x1 = 0

x2 ≈ 3.33

blir det då (0;3.33) ?

larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?

inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..

Yngve skrev:

jaha, stämmer det dock att linjen där uppe går genom punkten (0,4)? Ser mer ut som att den går igenom (0,3.8) eller något.. Samma sak med linjen där nere, vilka punkter går den igenom?

larsolof skrev:
Detta ger kurvan i uppgiften
f(x) = $\frac{1}{2} (x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8)$

hur får du att f(x) = k(x+1)(x-2)(x-4) = f(x) = (½)(x^(3)-5x^(2)+2x+8) ? förstår bara (x^(3)-5x^(2)+2x+8) den delen, men hur fick du fram att det ska vara ½ framför?

hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?
inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..

Nu har du hitta x-värdena för de två punkter på kurvan där F'(x)=1 ( där lutningen = 1 = 45 grader)

x1 = 0
x2 = 3 $\frac{1}{3}$ (använd inte 3.33 då det ger avrundningsfel)

För att få reda på y-värdena i dessa två punkter, sätt in respektive x-värde i
kurvans ekvation f(x) = (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8)

Den ena punkten blir (0,4) . Punkten ligger lite under 4:an på skissen men skissen är inte noggrann.
På ursprungsbilden högst upp i tråden syns det bättre.

y-värdet för andra punkten avläser jag i ursprungsbilden högst upp i tråden till ca -1,9 [EDIT ej +1,9]
men insättning av x=3 $\frac{1}{3}$ i kurvans ekvation ger exakt värde på y

larsolof skrev:
hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?
inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..
Nu har du hitta x-värdena för de två punkter på kurvan där F'(x)=1 ( där lutningen = 1 = 45 grader)
x1 = 0
x2 = 3 $\frac{1}{3}$ (använd inte 3.33 då det ger avrundningsfel)
För att få reda på y-värdena i dessa två punkter, sätt in respektive x-värde i
kurvans ekvation  f(x) = (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8)
Den ena punkten blir (0,4) . Punkten ligger lite under 4:an på skissen men skissen är inte noggrann.
På ursprungsbilden högst upp i tråden syns det bättre.
y-värdet för andra punkten avläser jag i ursprungsbilden högst upp i tråden till ca 1,9
men insättning av x=3 $\frac{1}{3}$   i kurvans ekvation ger exakt värde på y

Ska jag då sätta in både x1 och x2?

x1 = (½)(0^3-5*0^2+2*0+8) = 4

x2 = (½)(3(1/3)^3-(5*3(1/3)^2)+(2*3(1/3))+8) = 4,2?

hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?
inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..
Nu har du hitta x-värdena för de två punkter på kurvan där F'(x)=1 ( där lutningen = 1 = 45 grader)
x1 = 0
x2 = 3 $\frac{1}{3}$ (använd inte 3.33 då det ger avrundningsfel)
För att få reda på y-värdena i dessa två punkter, sätt in respektive x-värde i
kurvans ekvation  f(x) = (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8)
Den ena punkten blir (0,4) . Punkten ligger lite under 4:an på skissen men skissen är inte noggrann.
På ursprungsbilden högst upp i tråden syns det bättre.
y-värdet för andra punkten avläser jag i ursprungsbilden högst upp i tråden till ca 1,9
men insättning av x=3 $\frac{1}{3}$   i kurvans ekvation ger exakt värde på y
Ska jag då sätta in både x1 och x2?
x1 = (½)(0^3-5*0^2+2*0+8) = 4 = (0,4)
x2 = (½)(3(1/3)^3-(5*3(1/3)^2)+(2*3(1/3))+8) = 4,2 = (3(1/3),4,2) fast här hamnar linjen på y≈2 och inte 4,2?

hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?
inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..
Nu har du hitta x-värdena för de två punkter på kurvan där F'(x)=1 ( där lutningen = 1 = 45 grader)
x1 = 0
x2 = 3 $\frac{1}{3}$ (använd inte 3.33 då det ger avrundningsfel)
För att få reda på y-värdena i dessa två punkter, sätt in respektive x-värde i
kurvans ekvation  f(x) = (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8)
Den ena punkten blir (0,4) . Punkten ligger lite under 4:an på skissen men skissen är inte noggrann.
På ursprungsbilden högst upp i tråden syns det bättre.
y-värdet för andra punkten avläser jag i ursprungsbilden högst upp i tråden till ca 1,9
men insättning av x=3 $\frac{1}{3}$   i kurvans ekvation ger exakt värde på y
Ska jag då sätta in både x1 och x2?
x1 = (½)(0^3-5*0^2+2*0+8) = 4
x2 = (½)(3(1/3)^3-(5*3(1/3)^2)+(2*3(1/3))+8) = 4,2?

Ja.

Men det ska inte stå:
x1 = ..........
x2 = ............

Det ska stå:
y1 = ...............
y2 = .............

y1 blev rätt Punkten (0,4)
y2 blev fel (ska bli ca -1,9 det ser jag i kurvan högst upp)

larsolof skrev:
hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
hjalpmedfysik skrev:
larsolof skrev:
1) Det är alltid är 45graders lutning  när F'(x) = 1
Derivatan är lutningen. Det är som k-värdet för en rät linje. När k=1 lutar linjen 45 grader. Snett uppåt och åt höger.
2) Nu har du fått fram  f'(x) = 1,5x^(2)-5x+1
Du vill hitta för vilket x som derivatan är 1
Så sätt  1,5x^(2)-5x+1 = 1 och räkna ut vad x blir.

[ Det blir två värden på x därför att kurvan lutar 45 grader på två ställen ]

På 2 ställen? har dock bara hittat 1 punkt?
inte ens säker på om det är (0,4) eftersom punkten ligger lite under 4an..
Nu har du hitta x-värdena för de två punkter på kurvan där F'(x)=1 ( där lutningen = 1 = 45 grader)
x1 = 0
x2 = 3 $\frac{1}{3}$ (använd inte 3.33 då det ger avrundningsfel)
För att få reda på y-värdena i dessa två punkter, sätt in respektive x-värde i
kurvans ekvation  f(x) = (½) (x^(3)-5x^(2)+2x+8)
Den ena punkten blir (0,4) . Punkten ligger lite under 4:an på skissen men skissen är inte noggrann.
På ursprungsbilden högst upp i tråden syns det bättre.
y-värdet för andra punkten avläser jag i ursprungsbilden högst upp i tråden till ca 1,9
men insättning av x=3 $\frac{1}{3}$   i kurvans ekvation ger exakt värde på y
Ska jag då sätta in både x1 och x2?
x1 = (½)(0^3-5*0^2+2*0+8) = 4
x2 = (½)(3(1/3)^3-(5*3(1/3)^2)+(2*3(1/3))+8) = 4,2?
Ja.
Men det ska inte stå:
x1 = ..........
x2 = ............
Det ska stå:
y1 = ...............
y2 = .............
y1 blev rätt Punkten (0,4)
y2 blev fel (ska bli ca -1,9 det ser jag i kurvan högst upp)

Slarvfel av mig, fick svaret också till -1,9 haha.

Skulle du kunna förklara hur man får f(x) = k(x-(-1)(x-2)(x-4) till F(x) = (½)(x^3-5x^2+2x+8)? (x^3-5x^2+2x+8) detta kan jag få ut men hur får jag ut (½) som ligger framför?

f(x) = k (x+1) (x-2) (x-4)

Välj en känd punkt på kurvan, ta t.ex. punkten (0,4)

Sätt in x=0 i f(x) då ska f(0)=4

f(0) = k (0+1) (0-2) (0-4) = 4

k * 1 * -2 * -4 = 4

k * 8 = 4

k = 1/2

larsolof skrev:
f(x) = k (x+1) (x-2) (x-4)
Välj en känd punkt på kurvan, ta t.ex. punkten (0,4)
Sätt in x=0 i f(x) då ska f(0)=4
f(0) = k (0+1) (0-2) (0-4) = 4
k * 1 * -2 * -4 = 4
k * 8 = 4
k = 1/2

tack så hemsk mycket!!

Det exakta värdet på den andra punkten är $1 \frac{25}{27} \approx 1, 925925 . . .$

larsolof skrev:
Det exakta värdet på den andra punkten är $1 \frac{25}{27} \approx 1, 925925 . . .$

blir det inte -1,9?

Inte exakt, jag kan skriva in den exakta uträkningen men det tar en stund

Men -1,925925... blir ju -1,9 avrundat

x = 3 $\frac{1}{3}$ = $\frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{2} [{(\frac{10}{3})}^{3} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2} + 2 (\frac{10}{3}) + 8]$

$y = \frac{1}{2} [\frac{1000}{27} - \frac{500}{9} + \frac{20}{3} + 8]$

$y = \frac{1}{2} [\frac{1000}{27} - \frac{1500}{27} + \frac{180}{27} + \frac{216}{27}]$

$y = \frac{1}{2} [\frac{- 104}{27}] = \frac{- 52}{27} = - 1 \frac{25}{27} \approx - 1.925925 . . .$

larsolof skrev:
x = 3 $\frac{1}{3}$ = $\frac{10}{3}$
$y = \frac{1}{2} [{(\frac{10}{3})}^{3} - 5 {(\frac{10}{3})}^{2} + 2 (\frac{10}{3}) + 8]$
$y = \frac{1}{2} [\frac{1000}{27} - \frac{500}{9} + \frac{20}{3} + 8]$
$y = \frac{1}{2} [\frac{1000}{27} - \frac{1500}{27} + \frac{180}{27} + \frac{216}{27}]$
$y = \frac{1}{2} [\frac{- 104}{27}] = \frac{52}{27} = 1 \frac{25}{27} \approx 1.925925 . . .$

ja, men jag menar ifall det ska vara ett minustecken framför 1,9

Jo, det ska vara minus före. Jag slarvade där...

larsolof skrev:
Jo, det ska vara minus före. Jag slarvade där...

haha, tack för hjälpen! Skulle du kunna hjälpa mig med en annan uppgift? har gjort en ny tråd om det..

Vad heter den?

larsolof skrev:
Vad heter den?

Cylinderformad tunna

Hjalpmedfysik, det står i Pluggakutens regler att s k fjärrbumpning är förbjudet. Du har redan fått många tillsägelser och en varning, så detta regelbrott ger dig en avstängning. /moderator