Bestäm f’(x) för funktionerna med hjälp av derivatans definition

Du hanterar bråken opraktiskt. På andra raden sista ledet har du ett bråk minus ett annat bråk, allt genom h. Multiplicera stora bråkets täljare och nämnare med (x^2)(h+x)^2, det blir efter förenkling

[x^2 – (x+h)^2] / [h(x^2)(x+h)^2] 

Förenklar du får du –2hx–h^2 i täljaren och h gånger … i nämnaren.

Antag att h inte noll. Bryt ut h ur täljaren och förkorta bort det. Kvar är (om jag räknar rätt i huvudet)

–2(x+h) i täljaren och (x^2)(x+h)^2 i nämnaren. Nu låter vi h gå mot noll. Gränsvärdet är –2x/x^4, förkorta bort x.

Du är på rätt väg, utveckla täljaren.

EDIT: Jag refererar till Mogens bild ovan. Håller du med om Mogens bild?

Mogens skrev:

Du hanterar bråken opraktiskt. På andra raden sista ledet har du ett bråk minus ett annat bråk, allt genom h. Multiplicera stora bråkets täljare och nämnare med (x^2)(h+x)^2, det blir efter förenkling

 

Men det fungerar väll ändå att göra som jag har gjort? Om inte, varför?

[x^2 – (x+h)^2] / [h(x^2)(x+h)^2] 

Förenklar du får du –2hx–h^2 i täljaren och h gånger … i nämnaren.

Antag att h inte noll. Bryt ut h ur täljaren och förkorta bort det. Kvar är (om jag räknar rätt i huvudet)

Ur vilken täljare? Jag har ju brutit ut h några gånger redan.

 

–2(x+h) i täljaren och (x^2)(x+h)^2 i nämnaren. Nu låter vi h gå mot noll. Gränsvärdet är –2x/x^4, förkorta bort x.

Sten skrev:

Du är på rätt väg, utveckla täljaren.

EDIT: Jag refererar till Mogens bild ovan. Håller du med om Mogens bild?

Nä inte än, började nyss att kolla på den

Men det jag gärna hade velat ha svar på är varför min metod gav fel svar? Vart sker felet som förstör uträkningen? 

Jag förstår inte vad som sker med andra termen (markerad med rött)

Det är två olika nämnare. För att få en gemensam nämnare behöver första termen förlängas med $x^2$ och den andra med ${(x+h)}^2$.

Sten skrev:

Jag förstår inte vad som sker med andra termen (markerad med rött)

Det är två olika nämnare. För att få en gemensam nämnare behöver första termen förlängas med $x^2$ och den andra med ${(x+h)}^2$.

Det är väll ändå samma nämnare? (x+h)² = x² + 2xh + h²

EDIT: Nu märker jag dock att jag glömt multiplicera x² i nämnaren med 2xh + h² och har endast adderat ihop dem istället. Så det kanske är där felet ligger? För att om jag hade multiplicerat x² med 2xh + h² hade det ändå blivit fel. Eftersom att jag gjorde mitt misstag så tidigt i min långa uträkning så känns det bara enklast att börja om helt och hållet. Så jag tror nog jag tar och gör det istället…Så återkommer jag om jag skulle stöta på nått mer strul!

Det stämmer, man kan inte addera samma uttryck i täljare och nämnare, utan måste multiplicera.

Men $x^2$behöver multipliceras med ${(x+h)}^2$

Ja precis, hade tänkt ta en genväg genom att endast addera 2xh + h² men det går ju inte direkt…Så tar och gör om allt från början!

Genväg blir senväg ibland. :)

Men man behöver inte utveckla ${(x+h)}^2$i nämnaren för att lösa problemet, parentesen kan behållas.

Däremot behöver man utveckla parentesen i täljaren i ett andra steg, se Mogens bild ovan.

@Sten, i täljaren är det bra att utveckla parentesen. Men du har rätt, i nämnaren blir det bara rörigt om man gör det.

@Mogens, stämmer. Jag skrev fel på sista raden, ska vara täljaren. Så jag uppdaterade, nu i fetstil.

Jag vet att 2x + h/x⁴ + 2hx² + xh² kan skrivas om till f’(x) = 2/x³ som är det korrekta svaret. Men varför går det inte att fortsätta skriva som jag har gjort på min bild? Vad är felet med det?

Du kan göra på det sättet, men du har h i två “smånämnare”. Eftersom h ska gå mot noll så blir de termerna hur stora som helst. Hela bråket måste förlängas med h, när sedan h går mot noll så blir 

2x/x^4 kvar som är rätt svar, bortsett ifrån att du tappat ett minus någonstans. Svaret är –2/x^3. Men titta på min lösning ovan, dubbelbråk ska man inte krångla till, det bäddar för fel.

Du kan också se svaret på en fråga 1543c nyss om bråkdivision om du kommer åt det. Allt gott!

karisma skrev:

Men varför går det inte att fortsätta skriva som jag har gjort på min bild? Vad är felet med det?

Du ndrar vilka fel du gjorde. Här är tre fel och en otydlighet, se bild för siffror:

1. Fel tecken på täljarens termer. Det ska vara -2x²-h².
2. Det ska vara 2hx³, inte 2hx².
3. Det ska vara x²h², inte xh².
4. Här förstår jag inte hur du gjorde sista steget.

Mogens skrev:

Du kan göra på det sättet, men du har h i två “smånämnare”. Eftersom h ska gå mot noll så blir de termerna hur stora som helst.

Bråken blir väll ändå odefinierade eftersom att h är i nämnaren och det är därför jag bara har 2x² kvar i nämnaren.

Hela bråket måste förlängas med h, när sedan h går mot noll så blir 

2x/x^4 kvar som är rätt svar, bortsett ifrån att du tappat ett minus någonstans.'

Vart då?

Svaret är –2/x^3. Men titta på min lösning ovan, dubbelbråk ska man inte krångla till, det bäddar för fel.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Men varför går det inte att fortsätta skriva som jag har gjort på min bild? Vad är felet med det?

Du ndrar vilka fel du gjorde. Här är tre fel och en otydlighet, se bild för siffror:

1. Fel tecken på täljarens termer. Det ska vara -2x²-h².

Varför då? Jag subtraherar ju x² med x², alltså tar dem ut varandra och jag får kvar 2xh + h².

 

1. Här förstår jag inte hur du gjorde sista steget.

 

Eftersom att h var i nämnaren i 2x/h och i nämnaren i x⁴/h så försvinner dem två. Det lämnar kvar: 1/2x³+xh, och eftersom xh = 0 så lämnar det oss med 1/2x³

karisma skrev:

Varför då? Jag subtraherar ju x² med x², alltså tar dem ut varandra och jag får kvar 2xh + h².

Du glömmer att byta tecken på termerna innanför parenteserna när du tar bort dem.

Det gäller inte att a-(b+c+d) är lika med a-b+c+d, istället är det lika med a-b-c-d.

Eftersom att h var i nämnaren i 2x/h och i nämnaren i x⁴/h så försvinner dem två. Det lämnar kvar: 1/2x³+xh, och eftersom xh = 0 så lämnar det oss med 1/2x³

Hur menar du "försvinner"? Det gäller inte att $\frac{\frac{a}{h}+b}{\frac{c}{h}+d}$ är lika med $\frac{b}{d}$

Yngve skrev:

karisma skrev:

Varför då? Jag subtraherar ju x² med x², alltså tar dem ut varandra och jag får kvar 2xh + h².

Du glömmer att byta tecken på termerna innanför parenteserna när du tar bort dem.

Det gäller inte att a-(b+c+d) är lika med a-b+c+d, istället är det lika med a-b-c-d.

 

Det stämmer!

Eftersom att h var i nämnaren i 2x/h och i nämnaren i x⁴/h så försvinner dem två. Det lämnar kvar: 1/2x³+xh, och eftersom xh = 0 så lämnar det oss med 1/2x³

Hur menar du "försvinner"? Det gäller inte att $\frac{\frac{a}{h}+b}{\frac{c}{h}+d}$ är lika med $\frac{b}{d}$

Eftersom att 2x/h i princip är 0, och odefinierat eftersom att det inte går att dividera med 0 i nämnaren. 

karisma skrev:

Eftersom att 2x/h i princip är 0, och odefinierat eftersom att det inte går att dividera med 0 i nämnaren. 

Nej, 2x/h är inte i princip 0 utan det går istället mot oändligheten då h går mot 0.

Att en term är odefinierad betyder inte att det bara går att stryka den ur ett uttryck.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Eftersom att 2x/h i princip är 0, och odefinierat eftersom att det inte går att dividera med 0 i nämnaren. 

Nej, 2x/h är inte i princip 0 utan det går istället mot oändligheten då h går mot 0.

Att en term är odefinierad betyder inte att det bara går att stryka den ur ett uttryck.

Så har jag alltid gjort när det kommer till derivering med lim/h->0. Något de även gör i boken på andra uppgifter. Så varför fungerar det inte nu tycker du? Jag vet att jag får ett annat svar än det som står i facit men det känns som att det beror på något annat och inte det här.

karisma skrev:

Så har jag alltid gjort när det kommer till derivering med lim/h->0. Något de även gör i boken på andra uppgifter.

Nej så är det nog inte. Kan du visa ett exempel ur boken där de stryker termer som går mot oändligheten/är odefinierade?

Så varför fungerar det inte nu tycker du?

Se svar #21 & #23

Jag vet att jag får ett annat svar än det som står i facit men det känns som att det beror på något annat och inte det här.

Det beror inte enbart på det utan även på de fel jag pekade ut i svar #18.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Så har jag alltid gjort när det kommer till derivering med lim/h->0. Något de även gör i boken på andra uppgifter.

Nej så är det nog inte. Kan du visa ett exempel ur boken där de stryker termer som går mot oändligheten/är odefinierade?

 

Oftast så löser dem ju inte uppgifterna i matteboken utan det jag menar är att det finns flera exempel i matteboken som kräver att man stryker ett tal som nästan är 0 för att kunna komma fram till rätt svar

Här är 2 exempel:

Här försvinner 1/x och 5/x. 

Här försvinner 5h.

Jag vet att jag får ett annat svar än det som står i facit men det känns som att det beror på något annat och inte det här.

Det beror inte enbart på det utan även på de fel jag pekade ut i svar #18.

Jo men dem felen förstår jag och har ändrat, men jag hamnar fortfarande i samma sits som jag gjorde innan jag ändrade dem andra felen.

karisma skrev:

Jag sa inte att de stryker uppgifter som går mot oändligheten utan uppgifter som går mot 0. Och oftast så löser dem ju inte uppgifterna i matteboken utan det jag menar är att det finns flera exempel i matteboken som kräver att man stryker ett tal som nästan är 0 för att kunna komma fram till rätt svar

Bra, då missuppfattade jag dig. Det stämmer att termer som går mot 0 "försvinner" då h går mot noll.

Men problemet med din lösning är att varken 2x/h eller x⁴/h går mot 0 då h går mot 0. Istället går de not oändligheten eftersom det superpyttelilla h står i nämnaren. Därför kan du inte stryka dessa termer.

Jo men dem felen förstår jag och har ändrat, men jag hamnar fortfarande i samma sits som jag gjorde innan jag ändrade dem andra felen.

OK visa då din ändrade uträkning så hjälper vi dig att hitta ev. kvarstående fel.

karisma skrev:

Här är 2 exempel:

Här försvinner 1/x och 5/x. 

Ja, här går x mot oändligheten och därför går både 5/x och 1/x mot 0. Dessa termer "försvinner" därför då vi låter x gå mot oändligheten.

Här försvinner 5h.

Ja, här går h mot 0 och därför går 5h mot 0. Denna term "försvinner" därför då vi låter h gå mot 0.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Jag sa inte att de stryker uppgifter som går mot oändligheten utan uppgifter som går mot 0. Och oftast så löser dem ju inte uppgifterna i matteboken utan det jag menar är att det finns flera exempel i matteboken som kräver att man stryker ett tal som nästan är 0 för att kunna komma fram till rätt svar

Bra, då missuppfattade jag dig. Det stämmer att termer som går mot 0 "försvinner" då h går mot noll.

Men problemet med din lösning är att varken 2x/h eller x⁴/h går mot 0 då h går mot 0. Istället går de not oändligheten eftersom det superpyttelilla h står i nämnaren. Därför kan du inte stryka dessa termer.

 

Men dem gör ju så i boken? Varför fungerar det då.

Jo men dem felen förstår jag och har ändrat, men jag hamnar fortfarande i samma sits som jag gjorde innan jag ändrade dem andra felen.

OK visa då din ändrade uträkning så hjälper vi dig att hitta ev. kvarstående fel.

Allt ser exakt likdant ut förutom att svaret blir negativt och x² blir x³. Alltså istället för 1/2x² som svar blir det -1/2x³

Yngve skrev:

karisma skrev:

Här är 2 exempel:

Här försvinner 1/x och 5/x. 

Ja, här går x mot oändligheten och därför går både 5/x och 1/x mot 0. Dessa termer "försvinner" därför då vi låter x gå mot oändligheten.

 

Ja och i min uppgift går ju x⁴/h och 2x/h mot oändligheten. Varför försvinner inte den då?

Här försvinner 5h.

Ja, här går h mot 0 och därför går 5h mot 0. Denna term "försvinner" därför då vi låter h gå mot 0.

karisma skrev:

Ja och i min uppgift går ju x⁴/h och 2x/h mot oändligheten. Varför försvinner inte den då?

Titta i din bok. Det finns inget ställe där termer som går mot oändligheten försvinner.

Det är bara termer som går mot 0 som försvinner.

Yngve skrev:

karisma skrev:

Ja och i min uppgift går ju x⁴/h och 2x/h mot oändligheten. Varför försvinner inte den då?

 

Det är bara termer som går mot 0 som "försvinner".

Fast det är ju det min gör eftersom att h -> 0 som det står i min uppgift. Eller egentligen blir ju mitt uttryck odefinierat eftersom att det inte går att dividera ett tal med 0 i nämnaren. 

Om jag inte bara kan stryka bort x⁴/h och 2x/h, vad ska jag göra med dem då?

karisma skrev:

Det är bara termer som går mot 0 som "försvinner".

Fast det är ju det min gör eftersom att h -> 0 som det står i min uppgift.

Nej det är inte det man gör.

• I ditt exempel 1 går x mot oändligheten, inte mot 0. Och då går både 5/x och 1/x mot 0.
• I ditt exempel 2 går h mot 0 och då går 5h mot 0.

I båda fallen är det bara termer som går mot 0 som försvinner.

Eller egentligen blir ju mitt uttryck odefinierat eftersom att det inte går att dividera ett tal med 0 i nämnaren. 

Det blir inte odefinierat eftersom vi ine kan låta h gå mot 0. Istället går de mot oändligheten eftersom nämnarna går mot 0. Oavsett vilket så får vi inte bara stryka dessa termer.

Om jag inte bara kan stryka bort x⁴/h och 2x/h, vad ska jag göra med dem då?

Se tips från svar #2 och #3.

Dem tipsen är jätte bra, men säger mig inget om hur jag ska fortsätta lösa uppgiften genom det jag har börjat på. Jag vet atg jag lika gärna skulle kunna göra som jag har skrivit i #15, men det jag undrsde är hur jag ska göra om jag vill göra på det sättet jag gör efteråt i #15. Alltså går det ens att fortsötta lösa uppgiften från -2x/h + 1 / x⁴/h + 2x³ + xh? 

karisma skrev:

Dem tipsen är jätte bra, men säger mig inget om hur jag ska fortsätta lösa uppgiften genom det jag har börjat på. Jag vet atg jag lika gärna skulle kunna göra som jag har skrivit i #15, men det jag undrsde är hur jag ska göra om jag vill göra på det sättet jag gör efteråt i #15. Alltså går det ens att fortsötta lösa uppgiften från -2x/h + 1 / x⁴/h + 2x³ + xh? 

OK, du kan t.ex. fortsätta på det här sättet: