Bestäm f(2)

Det är f(2) som ska beräknas, så prova att sätta in x=2 i ekvationen. Då får vi:

$f(2) - 3f(1/2) = 2^2$

Här ingår alltså värdet f(1/2), som vi inte har. Men vi kan försöka få fram det, genom att sätta in x=1/2 i ekvationen:

$f(1/2) - 3f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

De här två ekvationerna kan användas tillsammans för att lista ut vad f(2) är, som när man löser ett ekvationssystem.

men i första ekvationen har vi inte f(2) heller?

Nej, det är ju det vi ska räkna fram. Det jag menar är att om vi visste värdet på f(1/2) skulle f(2) vara den enda okända i första ekvationen, och då hade f(2) kunnat lösas ut direkt.

Därför söker vi värdet på f(1/2), och genom att sätta in x=1/2 får vi en ny ekvation. Den nya ekvationen använder samma två okända värden, alltså f(2) och f(1/2). Det är som ett x och ett y. Vi har alltså lika många ekvationer som vi har okända variabler, och då har vi ett lösbart ekvationssystem.

Skaft skrev:

Nej, det är ju det vi ska räkna fram. Det jag menar är att om vi visste värdet på f(1/2) skulle f(2) vara den enda okända i första ekvationen, och då hade f(2) kunnat lösas ut direkt.

Därför söker vi värdet på f(1/2), och genom att sätta in x=1/2 får vi en ny ekvation. Den nya ekvationen använder samma två okända värden, alltså f(2) och f(1/2). Det är som ett x och ett y. Vi har alltså lika många ekvationer som vi har okända variabler, och då har vi ett lösbart ekvationssystem.

går det att ersätta variablerna?

f(2) = x

f(1/2) = y

x-3y = 4 ----> x = 4+3y

y-3x = 1/4

y - 3(4+3y) = 1/4

y -12-9y = 1/4

-10y = 1/4 + 12

y = -49/40?

dvs f(1/2) = -49/40

Ja, variablerna får du kalla vad du vill =) Men, y-9y blir inte -10y. Och sen var det ju f(2) som skulle beräknas!

Skaft skrev:

Ja, variablerna får du kalla vad du vill =) Men, y-9y blir inte -10y. Och sen var det ju f(2) som skulle beräknas!

ja, jag skrev fel där. Räknade om och fick f(2) = -19/32 som också stämmer enligt facit. Kan man lösa uppgiften på ett annat sätt förutom med ekvationssystem?

Det är en bra fråga... Man kan försöka bestämma funktionen f(x). Ett sätt att göra det är att skriva om ekvationen till

$f(x) = 3f(1/x) + x^2$

Och sen, på samma sätt som tidigare, sätta in 1/x istället för x:

$f(1/x) = 3f(x) + (1/x)^2$

Då kan detta sättas in i första ekvationen (ja, det här är egentligen substitutionsmetoden, så det är väl bara en mer generell variant av samma ekvationssystemslösning) för att få:

$f(x) = 3(3f(x) + (1/x)^2) + x^2$

Efter förenkling får man $f(x) = -\frac{1}{8}(\frac{3}{x^2}+x^2)$. Då är funktionen bestämd, så sen är det bara sätta in x=2 för att beräkna värdet. Men som sagt, jag har egentligen bara sopat ekvationssystemet under mattan, det är inte borta på riktigt.

Man skulle också kunna gissa att f(x) har formen $f(x) = ax^2 + \frac{b}{x^2}$, och ta fram funktionen den vägen. Men det leder också till ett ekvationssystem, när man ska bestämma koefficienterna a och b =)

Så, kan man lösa uppgiften utan ekvationssystem? Inte vad jag kan komma på, men det kanske bara betyder att jag har dålig fantasi ^^