bestäm extremp

Bestäm maximipunkten till funktionen y = x^2 + 3 / x-1

$y = \frac{x^{2} + 3}{x - 1} 1 . B e s t ä m d e r i v t a n s n o l l s t ä l l e n K v o t r e g e \ln g e r y' = \frac{2 x (x - 1) - (x^{2} + 3) * 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} f' (x) = 0 g e r \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1} = 0 x^{2} - 2 x - 3 = 0 * x^{2} - 2 x + 1 x^{2} - 2 x - 3 = 0 p q f o r m e \ln g e r x = \frac{2}{2} \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} + 3} x = 1 \pm 2 x_{1} = 3 o c h x_{2} = - 1 D e r i v a \tan s n o l l s t ä l l e n, e x t r e m p u n k t e r 2 . A v g ö r e x t r e m p u n k t e n s k a r a k t ä r y'' = \frac{(2 x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) - (2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 3)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}} = ? ?$

Känner att det spårar ut här, får typ olika svar varje gång jag testar räkna. Finns det enklare metoder? Vet speciellt ite hur jag ska derivera nämnaren. Det är ju en sammansatt funktion så y'' blir väl där 2(x^2 -2x +1) * (x^2-2x+1) vilket oxå känns jobbigt att räkna

Kan du dubbelkolla täljaren i y '' ?

Du behöver inte förenkla y'' längre.

Du behöver bara sätta in x=3 respektive x=-1 och kolla om svaret är positivt eller negativt.

Edit: Tänk på att nämnaren är positiv oavsett vad x är, därför behöver du inte sätta in x =3 eller x=-1 där.

Det är täljaren som avgör om y'' är positivt eller negativt.

Tyvärr, det här ÄR inte enkelt. Jag tror att jag skulle göra en teckentabell istället, så att jag slipper derivera den andra gången. Om jag var tvungen, så skulle jag multiplicera ihop nämnaren så att det bara blir ett polynom - sådana är ju inte så vansinnigt besvärliga att derivera.

Ett sätt är att förenkla derivatan innan du deriverar igen. Notera att täljare och nämnare är väldigt lika. Då kan man göra ett litet trick där man delar upp konstanttermen, så att en del av täljaren blir helt lika med nämnaren. Då kan man dela upp bråket i två, där det ena blir 1 vilket skalar bort en del krångel:

$y' = \dfrac{x^2-2x-3}{x^2-2x+1} = \dfrac{x^2-2x+1-4}{x^2-2x+1} =\\ \dfrac{x^2-2x+1}{x^2-2x+1}-\dfrac{4}{x^2-2x+1} = 1 - \dfrac{4}{x^2-2x+1} =\\ 1 - \dfrac{4}{(x-1)^2} =1 - 4(x-1)^{-2}$

Nu är den betydligt lättare att derivera!

$y'' = \frac{(2 x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x - 3) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}} x = 3 g e r \frac{(6 - 2) (9 - 6 + 1) - (9 - 6 - 3) (6 - 2)}{16} = ? ? ä v e n h ä r f å r j a g o l i k a s v a r h e l a t i d e n . . . b l i r f ö r v i r a d h u r j a s k a r ä k n a b o r d e j a g m u l t i p l i c e r a p a r a n t e s e r n a m e d v a r \sin t e r m, t e c k e n b y t e ?$

Edit: Inlägget ovan med tips va för komplicerat för mig

Om du förenklar $f^{(2)}(x)$ först så får du endast $\dfrac{8}{(x-1)^3}$ men jag håller med Smaragdalena, jag hade också gjort en teckentabell. Ofta lurar man sig själv att det går snabbare med andraderivatan men det gör inte det 99% av tiden då det handlar om kvoter. Dessutom så kommer inte andraderivatan alltid ge dig rätt "svar", det finns fall där du får ut fel karaktär på extrempunkterna även trots du tolkar det korrekt så jag hade gjort det för vana att använda teckenstudium för att indentifiera karaktären av en extrempunkt.

Edit: Inlägget ovan med tips va för komplicerat för mig

Du kan också skriva det som $x+1+ \dfrac{4}{x-1}$ genom att utföra polynomdivision.

d5000 skrev:
$y'' = \frac{(2 x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x - 3) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}} x = 3 g e r \frac{(6 - 2) (9 - 6 + 1) - (9 - 6 - 3) (6 - 2)}{16} = ? ? ä v e n h ä r f å r j a g o l i k a s v a r h e l a t i d e n . . . b l i r f ö r v i r a d h u r j a s k a r ä k n a b o r d e j a g m u l t i p l i c e r a p a r a n t e s e r n a m e d v a r \sin t e r m, t e c k e n b y t e ?$

Edit: Inlägget ovan med tips va för komplicerat för mig

när x= 3 ger y'' = $\frac{4 (4) - (0) (4)}{16} = 1 > 0 V i l k e t b e t y d e r a t t d e t ä r m i n i$

när x= -1 ger y'' = $\frac{(- 4) (4) - (0) (- 4)}{16} = \frac{- 16}{16} = - 1 < 0 v i l k e t b e t y d e r a t t d e t ä r m a x$

Svara

Visa senaste svar