Bestäm exponenten x - polynom med kvadratrötter

Jag ska bestämma exponenten x i följande uttryck

$\sqrt{\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a} \sqrt{\frac{a}{b}}}} = (\frac{a}{b})^{x}$

Så här långt har jag kommit, men lite hjälp.

VL:

$(\frac{a}{b} (\frac{b}{a} (\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$

Jag flyttar in det $\sqrt{\frac{b}{a}}$ in i den innersta parentesen och då blir det ett kvadrerat uttryck, dvs $\frac{b^{^{2}}}{a^{2}}$

$(\frac{a}{b} ((\frac{b^{2} a}{a^{2} b})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$

Jag förkortar i den innersta parentesen och får där $\frac{b}{a}$ . Jag multiplicerar de två innersta $^{\frac{1}{2}}$ och får $^{\frac{1}{4}}$

$(\frac{a}{b} (\frac{b}{a})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}$

Sedan flyttar jag in det $\frac{a}{b}$ som står längst till vänster i den innersta parentesen.

Det är då jag ställer mig frågande? Jag förstår att det jag flyttar in måste bli $\frac{a^{4}}{b^{4}}$ för att det ska stämma med det svar som finns i facit, men varför blir det inte bara $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ ?

Om jag nu fortsätter så når jag rätt svar:

$((\frac{a^{4}}{b^{4}} \frac{b}{a})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = (\frac{a^{3}}{b^{3}})^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = (\frac{a}{b})^{3 \cdot \frac{1}{8}} = (\frac{a}{b})^{\frac{3}{8}}$

HL:

Vi vet att HL är $(\frac{a}{b})^{x}$

Eftersom VL och HL är detsamma så måste exponenten x vara $\frac{3}{8}$

Min fråga är alltså: Varför blir det $\frac{a^{4}}{b^{4}}$ när det $\sqrt{\frac{a}{b}}$ som står längst till vänster i det ursprungliga uttrycket ska flyttas in i parentesen?

Och hur tycker ni att ser ut för övrigt?

Finns det ett enklare sätt?

Vad är "flyttar in" för ett räknesätt? Addition, subtraktion, multiplikation, division eller något krångligare?

Hej Smaragdalena,

Jag har bett en bekant om hjälp som skissade denna förklaring för mig.

Själv tyckte jag inte att jag genom det som står i läroboken, Matematik 5000 vux 3bc, hade tillräckligt med information för att lösa denna uppgift. Därför bad jag en person om hjälp.

När hen förklarade så tyckte jag att det verkade logiskt. Jag har antecknat medan jag lyssnade och trodde att jag förstått rätt.

Därför kan jag inte riktigt svara på din fråga.

Jag tar gärna emot råd om ett annat sätt att tänka när man löser en sådan här uppgift.

Ska jag börja i någon annan ända?

Jag vet alltså inte vad "flyttar in" egentligen innebär, men jag antog att personen visste vad hen talade om då det är en professor i naturvetenskap. Men det kan mycket väl vara jag som har missförstått eller inte lyssnat ordentligt.

Det blir $\frac{a^4}{b^4}$ eftersom du har fjärde roten. Då kvoten $\frac{a}{b} \ge 0$ så gäller det att

Error converting from LaTeX to MathML

Så du har alltså att

$\left(\frac{a^4}{b^4}\cdot \frac{b}{a}\right)^{1/4} = \left(\frac{a^4}{b^4}\right)^{1/4} \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4} =\frac{a}{b} \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$

Jag skulle i alla fall börja med att sätta $\frac{a}{b} = q$ , så blir uttrycket lite mindre illa. Då blir det $\sqrt{q \sqrt{q \sqrt{q}}}$ , som verkligen är illa nog.

Vi börjar inifrån. $\sqrt x = x^{1/2}$ .

$x \sqrt x = x^{3/2}$ .

$\sqrt{x \sqrt x} = x^{3/4}$ .

$x \sqrt{x \sqrt x} = x^{7/4}$ .

$\sqrt{x \sqrt{x \sqrt x}} = x^{7/8}$ .

Så exponenten blir 7/8. WolframAlpha håller med.

EDIT: Fast jag hade läst fel i uppgiften, den mittersta termen var b/a, inte a/b.

Svara

Visa senaste svar