Bestäm exponenten x.

Natascha skrev:

Jag har en uppgift där jag ska ta fram värdet för exponenten x och uppgiften ser ut såhär: 

$\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$ Jag börjar med att enbart fokusera på VL och får det till följande: $\sqrt{\frac{a^1}{b^1}\sqrt{\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}\sqrt{\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}}$är det rätt metod än så länge?

Nja, jag tror att du tänker rätt, men när du skriver om $\sqrt a$ till $a^\frac{1}{2}$ så skall du inte lämna kvar rot-tecknet. Fast jag tycker att det enklaste är att börja med att multiplicera ihop $\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Natascha skrev:

Jag har en uppgift där jag ska ta fram värdet för exponenten x och uppgiften ser ut såhär: 

$\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$ Jag börjar med att enbart fokusera på VL och får det till följande: $\sqrt{\frac{a^1}{b^1}\sqrt{\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}\sqrt{\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}}$är det rätt metod än så länge?

Det du skriver är fel. Kvadratrot är samma sak som upphöjt till $0.5$, men det är inte vad du skrivit när du ''fokuserar'' på VL.

Aaa, ja just det! Det kanske ska stå såhär istället: $\sqrt{\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0.5}}{b^{0.5}}}$men jag har något som säger mig att jag ska höja upp allt under rottecknet till 0.5 men det kanske är fel.. Ifall detta är rätt metod så önskar jag gärna följa den. :) Det kanske inte är den tydligaste metoden men vi provar. 

Det du skrivit i din senaste post stämmer. Det som står under surden (som är namnet på roten-ur-tecknet) kan skrivas som upphöjt till 0.5.

Så detta är vad vi har att jobba med: ${\sqrt{\left(\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\right)}}^{0,5}$

Alltså jag känner bara att jag har så svårt att komma vidare. Jag vet inte hur jag ska attackera rotuttrycket i mitt senaste meddelande. Jag vet att jag kan ta och addera alla exponenter som tillhör täljarna. Alltså: (1+0,5+0,5) = 2. Det känns inte korrekt men jag får inte fram en annan idé. 😢

Det är korrekt. Vad är $\sqrt{x^2}$, där x i det här fallet är $\frac{a}{b}$?

Jag har: ${\sqrt{\left(\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\right)}}^{0,5}$ och $\sqrt{x^2} är i mitt fall: {\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}}^2$. Eftersom det är något upphöjt till 2 och omgärdas av ett roten ur tecken, måste väl leda till att vi endast har kvar: $\frac{a}{b}$

Natascha skrev:

Jag har: ${\sqrt{\left(\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\right)}}^{0,5}$ och $\sqrt{x^2} är i mitt fall: {\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}}^2$. Eftersom det är något upphöjt till 2 och omgärdas av ett roten ur tecken, måste väl leda till att vi endast har kvar: $\frac{a}{b}$

Det stämmer. Man kan tillägga att a och b antingen måste vara positiva båda två, eller negativa båda två.

Så här skulle jag ha gjort: $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}}=\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a·a}{b·b}}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{a}{b}$

Det stämmer inte att $\sqrt{x^2}$ är samma sak som $x$. Då skulle exempelvis $\sqrt{(-2)^2}$ vara lika med $-2$.

Däremot stämmer det att $(\sqrt{x})^2$ är samma sak som $x$, under förutsättning att $x$ ej betecknar ett negativt tal.

Det krävs inte att a är positivt, det krävs inte att b är positivt, däremot krävs det att a/b är positivt för att det skal fungera.

Smaragdalena skrev:

Natascha skrev:

Jag har: ${\sqrt{\left(\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\right)}}^{0,5}$ och $\sqrt{x^2} är i mitt fall: {\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)}}^2$. Eftersom det är något upphöjt till 2 och omgärdas av ett roten ur tecken, måste väl leda till att vi endast har kvar: $\frac{a}{b}$

Det stämmer. Man kan tillägga att a och b antingen måste vara positiva båda två, eller negativa båda två.

Så här skulle jag ha gjort: $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}}=\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a·a}{b·b}}}=\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{a}{b}$

Stämmer det verkligen? Varför är det ett extra 0,5 i det första uttrycket? Verkar som Natascha återigen gör felet att lämna kvar ett rottecken när det görs om till exponentform.

Du har rätt, woosah - jag tittade bara på slutet och såg att det var riktigt.

Hej igen. Förlåt för mina avbrott men jag har skola fram tills 20.30 så jag är inte alltid tillgänglig men nu så. 

Stämmer inte: ${\sqrt{\left(\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\times \frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\right)}}^{0,5}$ ? Ifall det stämmer och att jag kan komma vidare utifrån detta uttryck så vill jag gärna veta vad nästa steg är, jag vet att jag kan addera täljarnas exponenter och nämnarnas exponenter för sig men därefter ser jag ingen väg vidare. 

${\sqrt{(\frac{a^1}{b^1}·\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}·\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}}^{0,5}$är samma sak som $\sqrt{{\sqrt{(\frac{a^1}{b^1}·\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}·\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}}^{}}$, men det var väl inte det du menade?

Nä. Jag syftade endast på det rottutryck i mitt senaste meddelande Smaragdalena, då rottutrycket är upphöjt till 0,5. Men visst ser jag det logiska kring vad du menar och att man kan skriva över det så att värdet kan omgärdas av två stycken roten-ur för att få bort 0,5. Jag försöker analysera även det men det ger mig ingen skjuts. 🥺 

Jag ser inte hur jag skulle kunna manipulera uttrycket mer efter att jag förenklat täljarnas exponenter för sig och nämnarnas för sig. 

Jag sa även till min lärare igår att jag inte vill ha en fullständig lösning till uppgiften. Jag vill verkligen pressa mig själv för att lyckas se sambandet mellan allt och få fram ett slutgiltigt svar på x. 

Du skall bara skriva rot-tecknet ELLER upphöjt-till-0,5 inte båda, annars blir det som jag skrev.

Tänk bara på att $\sqrt{x}=(x)^{0,5}$. Det är inte samma sak som $\sqrt{x}^{0,5}$ som du skriver varje gång.

Hej Natascha.

Hoppas att du nu är redo att fortsätta från det du skrev i detta inlägg, för det är helt rätt.

Du har alltså $\sqrt{\frac{a^1}{b^1}\cdot\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\cdot\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}}$

Fortsätt nu genom att förenkla det som står under rottecknet, dvs $\frac{a^1}{b^1}\cdot\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}\cdot\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}$.

Då kan du använda att $\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}=\frac{c\cdot e}{d\cdot f}$ och sedan att $c^d\cdot c^e=c^{d+e}$.

Kommer du vidare då?

Hej Yngve. Jag följde mycket av din metod och nu såg även jag vad jag gjorde för fel som stod som ett onödigt hinder... Ifall jag har något roten ur så kan jag inte upphöja till 0,5 och behålla rottecknet samtidigt. Det var mitt fel men det är första gången jag också tillämpar potenslagen i en uppgift så det var lite av ett nybörjarmisstag..

Jag förstår inte dina två sista steg Yngve. Jag förstår inte hur jag ska skriva upp det riktigt.. 🤦‍♀️ Jag bifogar en bild på hur långt jag kommit. 

Natascha skrev:

...

Snyggt och prydligt, men tyvärr inte helt rätt.

Det gäller att $a^{0,5}\cdot a^{0,5}=a^{0,5+0,5}$, dvs du ska addera exponenterna.men du har istället multiplicerat dem.

---------

En annan sak.

I början av detta inlägg skrev du att VL var $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}}$ men nu skriver du istället $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}}}$.

Vilket ska det vara?

Åhh, herregud, varför utför jag slarvfel gång på gång... Potenslagen: $a^x \times a^{x }$sitter som gjutet i mig och givetvis ska jag addera exponenterna... Det kanske är vädret. Vädret är ingen bra idag heller... 

Jag måste även ha skrivit fel rotuttryck på pappret. Det ska vara: $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}}$

Men då får vi: $\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{\left(0,5+0,5\right)}}{b^{\left(0,5+0,5\right)}} = \frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^1}{b^1}$

Natascha skrev:

Åhh, herregud, varför utför jag slarvfel gång på gång... Potenslagen: $a^x \times a^{x }$sitter som gjutet i mig och givetvis ska jag addera exponenterna... Det kanske är vädret. Vädret är ingen bra idag heller... 

Jag måste även ha skrivit fel rotuttryck på pappret. Det ska vara: $\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{a}{b}}}$

Men då får vi: $\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^{\left(0,5+0,5\right)}}{b^{\left(0,5+0,5\right)}} = \frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^1}{b^1}$

Ja det stämmer. Och nu är du nästan framme. Använd samma potenslag en gång till innan du hanterar rotenur-tecknet.

Då har vi Yngve: $\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^1}{b^1}$som med hjälp av potenslag: a^x + a^y = a^(x+y) skrivs om till: $\frac{a^2}{b^2}$. 

Ska vi använda rottecknet nu? 

Natascha skrev:

Då har vi Yngve: $\frac{a^1}{b^1}\times \frac{a^1}{b^1}$som med hjälp av potenslag: a^x + a^y = a^(x+y) skrivs om till: $\frac{a^2}{b^2}$. 

Ska vi använda rottecknet nu? 

Ja det stämmer.

Då blir svaret något i form av: $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}} = ?$
Detta är ju inte rätt Yngve? :( 

Natascha skrev:

Då blir svaret något i form av: $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}} = ?$
Detta är ju inte rätt Yngve? :( 

Jo, det är rätt, du är ju snubblande nära nu!

För vilket $x$ gäller:

$\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}}=(\dfrac{a}{b})^x$

Att göra den sista lilla förenklingen i VL tror jag att du fixar om du tänker efter litegrann.

Det måste väl betyda att x-värdet som eftersöks är 2? Jag tänker att både täljare och nämnare är upphöjda i kvadrat. Kvadraten och roter-ur tar ut varandra så x är 2? 

Du har rätt tanke, men drar fel slutsats. Vi får ju att upphöjt-till-två och roten-ur tar ut varandra, vilket ger:

$\dfrac{a}{b}=(\dfrac{a}{b})^x$

För vilket $x$ gäller detta? Det är inte $x=2$, för då blir ju HL $a^2/b^2$ och inte $a/b$.

Om följande ska gälla: $\frac{a}{b} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$ då måste $x$ vara lika med $1$. Kan det vara så AlvinB?

Natascha skrev:

Om följande ska gälla: $\frac{a}{b} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$ då måste $x$ vara lika med $1$. Kan det vara så AlvinB?

Ja!

Det är rätt svar. :-)

Alltså AlvinB jag vet inte vad som inträffat i denna tråd och hur varje person i tråden uppfattat uppgiften men svaret är verkligen inte 1. Jag har bokens facit framför mig. 🤦‍♀️😢

Natascha skrev:

Alltså AlvinB jag vet inte vad som inträffat i denna tråd och hur varje person i tråden uppfattat uppgiften men svaret är verkligen inte 1. Jag har bokens facit framför mig. 🤦‍♀️😢

Så som du skrivit uppgiften i ditt ursprungsinlägg är svaret $x=1$ (förutsatt att $a/b\geq0$). Kan du kanske ta ett foto av uppgiften och facit?

Natascha skrev:

Alltså AlvinB jag vet inte vad som inträffat i denna tråd och hur varje person i tråden uppfattat uppgiften men svaret är verkligen inte 1. Jag har bokens facit framför mig. 🤦‍♀️😢

Visa en bild av uppgiften. Vad står det i facit?

Jag tror nämligen att den egentligen lyder som du skrev för hand här.

Och det är inte samma som den vi har hjälpt dig att lösa.