Bestäm exakta nollställen till fjärdegradspolynom.

AlvinB skrev:

Hej!

Denna kluring kanske inte är särskilt fantasifull, men den fick i alla fall mig att tänka i lite andra banor.

Problemet är kort och koncist och lyder:

Bestäm alla nollställen till fjärdegradspolynomet

$P(x)=x^4-4x^3-3x^2+8x+5$

exakt.

 går den att lösa med enbart med gymnasiematte ? 

Det är fusk att rita grafen och titta va ? :P 

Korra skrev:

AlvinB skrev:

Hej!

Denna kluring kanske inte är särskilt fantasifull, men den fick i alla fall mig att tänka i lite andra banor.

Problemet är kort och koncist och lyder:

Bestäm alla nollställen till fjärdegradspolynomet

$P(x)=x^4-4x^3-3x^2+8x+5$

exakt.

 går den att lösa med enbart med gymnasiematte ? 

Det är fusk att rita grafen och titta va ? :P 

 Det behövs ingen teori som man inte lär sig på gymnasiet, men man måste vara lite finurlig själv för att lösa det.

Visst får du kolla på grafen hur mycket du vill, men kom ihåg att du ska ta fram exakta uttryck (inte approximationer) för alla lösningar.

AlvinB skrev:

Korra skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Hej!

Denna kluring kanske inte är särskilt fantasifull, men den fick i alla fall mig att tänka i lite andra banor.

Problemet är kort och koncist och lyder:

Bestäm alla nollställen till fjärdegradspolynomet

$P(x)=x^4-4x^3-3x^2+8x+5$

exakt.

 går den att lösa med enbart med gymnasiematte ? 

Det är fusk att rita grafen och titta va ? :P 

 Det behövs ingen teori som man inte lär sig på gymnasiet, men man måste vara lite finurlig själv för att lösa det.

Visst får du kolla på grafen hur mycket du vill, men kom ihåg att du ska ta fram exakta uttryck (inte approximationer) för alla lösningar.

 Jag vet inte hur man gör det men jag testade med följande:
 $$\begin{gathered} P\left(x\right)=x^4-4x^3-3x^2+8x+5 \\ 0=x^4-4x^3-3x^2+8x+5 \end{gathered}$$
Nu tänker jag att om man lyckas faktorisera detta på ett bra och rimligt sätt så kanske man kan lösa ekvationen. 

Jag funderade också på om extrempunkterna kan vara till någon nytta då en extrempunkt befinner sig precis i mitten av två nollställen i en sådan graf. 
$$\begin{gathered} P\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x^2-6x+8 \\ 0=2x^3-6x^2-3x+4 \end{gathered}$$  
Men jag lyckades heller inte lösa ut extrempunkterna. Faktoriseringen krävdes för mycket klur för att jag ska orka. 

Man kanske ska använda en annan graf som delar nollställe med denna grafen på några ställen, så använder man flera såna eller något. 

Ska bli intressant att se om någon kommer på hur man ska göra.

Korra skrev:

Jag funderade också på om extrempunkterna kan vara till någon nytta då en extrempunkt befinner sig precis i mitten av två nollställen i en sådan graf. 
$$\begin{gathered} P\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x^2-6x+8 \\ 0=2x^3-6x^2-3x+4 \end{gathered}$$  
Men jag lyckades heller inte lösa ut extrempunkterna.

 Intressant tänkt!

Tyvärr är det så att det faktum att extrempunkterna ligger mitt emellan nollställena enbart gäller för andragradsfunktioner och inte för fjärdegradsfunktioner.

Faktorisering är en bra idé, dock så måste man hitta någonstans att börja vilket är lite svårare än vanligt med just detta polynom. 

De vanliga knepen "summan av rötterna blir 4" och "produkten av rötterna blir 5" ger inte heller några självklara gissningar. Ekvationens rötter är inte heltal.

Satsen om rationella rötter ger att eventuella rationella rötter måste vara 1,5, -1 eller -5. Ingen av dessa tal är rötter till ekvationen vilket innebär att inga av rötterna är rationella.

Om man får bidra med en ganska ful lösning, vill jag tillfoga lösningen nedan.

Alla fjärdegradspolynom går att skriva som produkten av två andragradspolynom. Alltså kan vi sätta att 

$(x^2+ax+b)\left(x^2+cx+d\right)=x^4-4x^3-3x^2+8x+5$

Utveckling av vänsterledet ger den allmänna fjärdegradsekvationen:

$x^4+(a+c)x^3+\left(ac+b+d\right)x^2+(ad+bc)x+bd$. 

Med hjälp av koefficientmatchning fås ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+c=-4\\ ac+b+d=-3 \\ ad+bc=8 \\ bd=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

När man fått ihop detta ekvationssystem svär man och tänker "nu skiter jag i det här". Därefter följer ett icke-matematiskt antagande om att a, b, c och d är heltal. Dels eftersom alla koefficienter i polynomet är heltal (vilket inte är en garanti för att a, b, c eller d måste vara heltal, men det är inte en helt orimlig gissning), och framförallt för att man måste börja någonstans. Får man inte ihop något, ja då får man väl dra slutsatsen att a, b, c och d inte alla är heltal, och då är man tillbaka på ruta ett.

Men, i alla fall. Om b och d är heltal, måste b och d antingen vara (±1, ±5) eller (±5, ±1). Om man utgår från att b och d är positiva tal finner man ganska snabbt att inga sådana lösningar finns, så (-5, -1) eller (-1, -5) it is. Det innebär att ekvation tre måste vara antingen $-a-5c=8$ eller $-5a-c=8$. Genom att addera ekvation ett till denna ekvation fås att (a,c) antingen är (-1, -3) eller (-3, -1). När detta sätts in i ekvation tre får man därför två olika alternativ, antingen $-3d-b=8$ eller $-d-3b=8$, vilket ger information om vilka kombinationer av a, b, c och d som är möjliga. De är:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=-1 \\ c=-3\\ d=-5\end{array}\right. \end{gathered}$$ och $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=-5 \\ c=-1\\ d=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Då återstår att se om detta fungerar, genom att sätta in dessa värden i ekvation två. Båda kombinationer visar sig fungera. Det tränade ögat kan se att (a, b) och (c, d) endast bytt plats i ordningen. Båda paren fungerar, eftersom

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=(x^2+cx+d)\left(x^2+ax+b\right)$. Detta är alltså inget man behöver oroa sig över. 

Vi har då en faktorisering: $x^4-4x^3-3x^2+8x+5=(x^2-3x-5)(x^2-x-1)$!

Uttrycket sattes lika med noll, och vardera parentes i VL löstes med PQ. Då fick jag svaren:

$x_1=\cancel{-}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\cancel{-}\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

$x_3=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$

$x_4=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$

Bra gjort, Smutstvätt!

Faktoriseringen är rätt, men du har gjort ett litet slarvfel när du löst andragradsekvationerna. $x_1$ och $x_2$ ska inte ha några minustecken framför sig:

$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

Min metod är inte lika jobbig, men den innehåller ett litet fultrick för just detta polynom. Med din metod kan man lösa alla uppgifter av liknande typ, medans mitt fultrick bara går att använda på mycket specifika polynom.

Attans! 

Ska genast rätta. 

Vilken specifik typ av polynom går fultricket att använda på? Kan man få en sådan ledtråd?

Det är inte riktigt ett trick, snarare lite nischad förhandskunskap.

Det är nämligen så att två av lösningarna är relativt välkända matematiska konstanter. Som den mattenörd jag är kände jag igen decimalutvecklingarna och fick två lösningar gratis. :-)

Jo, att det var gyllene snittet såg jag också. Jag reflekterade dock inte tillräckligt mycket kring hur jag kunde använda det. *skäms*