Bestäm exakt största värdet på rektangel

benzel skrev:

"På kurvan y=4-2x , 0<x<4 så väljes en punkt P. Från punkten dras en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet för rektangelns area."

Jag skissade problemet såhär:

Jag beräknade arean för rektangeln utan hänsyn till kurvan A= 3*2= 6 a.e.

Sedan tog jag integralen för området under kurvan mellan x=1 och x=2:

${\int }_1^{2}4-2x=(4*2-2^2)-(4*1-1^2) =4-3=1$

Arean blir då alltså 6-1= 5 a.e.

Har jag tänkt rätt här? Eller framförallt, har jag tolkat uppgiften rätt? Jag antog att man skulle använda integralen med tanke på kapitlet som hänvisas till uppgiften, annars hade man ju bara kunnat beräknat arean under grafen som en triangel med enkel geometri (bh/2) och subtraherat det med rektangelns area.

Tack.

Nej. Rektangeln skall ha ett hörn i punkten P och ett hörn i origo.

Varför valde du att  ha ett hörn just i punkten (4,P)?

Smaragdalena skrev:

benzel skrev:

"På kurvan y=4-2x , 0<x<4 så väljes en punkt P. Från punkten dras en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet för rektangelns area."

Jag skissade problemet såhär:

Jag beräknade arean för rektangeln utan hänsyn till kurvan A= 3*2= 6 a.e.

Sedan tog jag integralen för området under kurvan mellan x=1 och x=2:

${\int }_1^{2}4-2x=(4*2-2^2)-(4*1-1^2) =4-3=1$

Arean blir då alltså 6-1= 5 a.e.

Har jag tänkt rätt här? Eller framförallt, har jag tolkat uppgiften rätt? Jag antog att man skulle använda integralen med tanke på kapitlet som hänvisas till uppgiften, annars hade man ju bara kunnat beräknat arean under grafen som en triangel med enkel geometri (bh/2) och subtraherat det med rektangelns area.

Tack.

Nej. Rektangeln skall ha ett hörn i punkten P och ett hörn i origo.

Varför valde du att  ha ett hörn just i punkten (4,P)?

Okej, inte helt säker på hur du menar. Så en rektangel med hörnen (0,0) och (1,P) tex? Såhär:

Hade ingen speciell anledning till att rita rektangeln som jag gjorde först, antog bara att det var ett sätt att göra det på, kändes mest logiskt av någon anledning.

Jag undrar lite om förutsättningarna. Tveksam till villkoret $0<x<4$. Om x låg mellan 0 och 2 skulle figuren se ut så här:

Kolla upp om förutsättningarna stämmer.

dr_lund skrev:

Jag undrar lite om förutsättningarna. Tveksam till villkoret $0<x<4$. Om x låg mellan 0 och 2 skulle figuren se ut så här:

Kolla upp om förutsättningarna stämmer.

Uppgiften anges med dessa exakta orden: " På kurvan y=4-2x , 0<x<4 , väljer man en punkt P. Från P drar man en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet på rektangelarean"

Uppgiften är ofullständigt formulerad.

Det saknas information om vilka rektangelns andra två sidor är, men om vi förutsätter att origo är hörnet diagonalt mot P så finns inget största värde på arean. Däremot gäller att arean är uppåt begränsad till 16 a.e.

I den här typen av uppgifter brukar de ofta syfta på areor begränsade av koordinataxlarna.  Om vi antar att det är det de menar d.v.s att origo är motsatt hörn till P så är ju arean A = (4-2x)*x  och A'=4-4x. Detta ger ett maxvärde för arean vid x=1. Då vet man att den maxvärdet ges av A(1)=2 d.v.s den maximala arean är 2 a.e

cjan1122 skrev:

I den här typen av uppgifter brukar de ofta syfta på areor begränsade av koordinataxlarna.  Om vi antar att det är det de menar d.v.s att origo är motsatt hörn till P så är ju arean A = (4-2x)*x  och A'=4-4x. Detta ger ett maxvärde för arean vid x=1. Då vet man att den maxvärdet ges av A(1)=2 d.v.s den maximala arean är 2 a.e

Nej, om uppgiften är korrekt formulerad så ges arean $A=x\cdot |y|=x\cdot |4-2x|$, där $0<x<4$. Detta uttryck saknar ett största värde, men är uppåt begränsat av 16.

Förslag på lösning (givet att $x,y>0$).

$A(x)=xy=x(4-2x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=$

$-2((x-1)^2-1)=2-2(x-1)^2\Rightarrow$

$\max_xA(x)=A(1)=2$

tomast80 skrev:

Förslag på lösning (givet att $x,y>0$).

$A(x)=xy=x(4-2x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=$

$-2((x-1)^2-1)=2-2(x-1)^2\Rightarrow$

$\max_xA(x)=A(1)=2$

Behöver man verkligen utveckla uttrycket hela vägen? Räcker det inte med att stoppa in x=1 i uttrycket 4x-2x² ? Får ut A(1)=2 på det viset också.

benzel skrev:

Behöver man verkligen utveckla uttrycket hela vägen? Räcker det inte med att stoppa in x=1 i uttrycket 4x-2x² ? Får ut A(1)=2 på det viset också.

Nej det måste du inte. 

Men du måste komma fram till ett värde på x som ger maximal area. Om du vill använda kvadratkomplettering för det (som tomast80 gjorde)  så är det praktiskt att först utveckla uttrycket. Annars kan du använda derivata.

Och jag anser fortfarande att svaret är fel (eller att frågan är felformulerad).