10 svar
408 visningar
benzel 29 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2019 14:54

Bestäm exakt största värdet på rektangel

"På kurvan y=4-2x , 0<x<4 så väljes en punkt P. Från punkten dras en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet för rektangelns area."

Jag skissade problemet såhär:

Jag beräknade arean för rektangeln utan hänsyn till kurvan A= 3*2= 6 a.e.

Sedan tog jag integralen för området under kurvan mellan x=1 och x=2:

124-2x=(4*2-22)-(4*1-12) =4-3=1

Arean blir då alltså 6-1= 5 a.e.

Har jag tänkt rätt här? Eller framförallt, har jag tolkat uppgiften rätt? Jag antog att man skulle använda integralen med tanke på kapitlet som hänvisas till uppgiften, annars hade man ju bara kunnat beräknat arean under grafen som en triangel med enkel geometri (bh/2) och subtraherat det med rektangelns area.

Tack.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 18 dec 2019 15:04
benzel skrev:

"På kurvan y=4-2x , 0<x<4 så väljes en punkt P. Från punkten dras en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet för rektangelns area."

Jag skissade problemet såhär:

Jag beräknade arean för rektangeln utan hänsyn till kurvan A= 3*2= 6 a.e.

Sedan tog jag integralen för området under kurvan mellan x=1 och x=2:

124-2x=(4*2-22)-(4*1-12) =4-3=1

Arean blir då alltså 6-1= 5 a.e.

Har jag tänkt rätt här? Eller framförallt, har jag tolkat uppgiften rätt? Jag antog att man skulle använda integralen med tanke på kapitlet som hänvisas till uppgiften, annars hade man ju bara kunnat beräknat arean under grafen som en triangel med enkel geometri (bh/2) och subtraherat det med rektangelns area.

Tack.

Nej. Rektangeln skall ha ett hörn i punkten P och ett hörn i origo.

Varför valde du att  ha ett hörn just i punkten (4,P)?

benzel 29 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2019 15:45
Smaragdalena skrev:
benzel skrev:

"På kurvan y=4-2x , 0<x<4 så väljes en punkt P. Från punkten dras en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet för rektangelns area."

Jag skissade problemet såhär:

Jag beräknade arean för rektangeln utan hänsyn till kurvan A= 3*2= 6 a.e.

Sedan tog jag integralen för området under kurvan mellan x=1 och x=2:

124-2x=(4*2-22)-(4*1-12) =4-3=1

Arean blir då alltså 6-1= 5 a.e.

Har jag tänkt rätt här? Eller framförallt, har jag tolkat uppgiften rätt? Jag antog att man skulle använda integralen med tanke på kapitlet som hänvisas till uppgiften, annars hade man ju bara kunnat beräknat arean under grafen som en triangel med enkel geometri (bh/2) och subtraherat det med rektangelns area.

Tack.

Nej. Rektangeln skall ha ett hörn i punkten P och ett hörn i origo.

Varför valde du att  ha ett hörn just i punkten (4,P)?

Okej, inte helt säker på hur du menar. Så en rektangel med hörnen (0,0) och (1,P) tex? Såhär:

Hade ingen speciell anledning till att rita rektangeln som jag gjorde först, antog bara att det var ett sätt att göra det på, kändes mest logiskt av någon anledning.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2019 16:55 Redigerad: 18 dec 2019 16:55

Jag undrar lite om förutsättningarna. Tveksam till villkoret 0<x<40<x<4. Om x låg mellan 0 och 2 skulle figuren se ut så här:

Kolla upp om förutsättningarna stämmer.

benzel 29 – Fd. Medlem
Postad: 18 dec 2019 17:02
dr_lund skrev:

Jag undrar lite om förutsättningarna. Tveksam till villkoret 0<x<40<x<4. Om x låg mellan 0 och 2 skulle figuren se ut så här:

Kolla upp om förutsättningarna stämmer.

Uppgiften anges med dessa exakta orden: " På kurvan y=4-2x , 0<x<4 , väljer man en punkt P. Från P drar man en linje vinkelrät mot x-axeln och en linje vinkelrät mot y-axeln så att en rektangel bildas. Bestäm exakt det största värdet på rektangelarean"

Yngve 40141 – Livehjälpare
Postad: 18 dec 2019 18:25 Redigerad: 18 dec 2019 18:27

Uppgiften är ofullständigt formulerad.

Det saknas information om vilka rektangelns andra två sidor är, men om vi förutsätter att origo är hörnet diagonalt mot P så finns inget största värde på arean. Däremot gäller att arean är uppåt begränsad till 16 a.e.

cjan1122 416
Postad: 18 dec 2019 19:18 Redigerad: 18 dec 2019 19:18

I den här typen av uppgifter brukar de ofta syfta på areor begränsade av koordinataxlarna.  Om vi antar att det är det de menar d.v.s att origo är motsatt hörn till P så är ju arean A = (4-2x)*x  och A'=4-4x. Detta ger ett maxvärde för arean vid x=1. Då vet man att den maxvärdet ges av A(1)=2 d.v.s den maximala arean är 2 a.e

Yngve 40141 – Livehjälpare
Postad: 18 dec 2019 21:02 Redigerad: 18 dec 2019 21:22
cjan1122 skrev:

I den här typen av uppgifter brukar de ofta syfta på areor begränsade av koordinataxlarna.  Om vi antar att det är det de menar d.v.s att origo är motsatt hörn till P så är ju arean A = (4-2x)*x  och A'=4-4x. Detta ger ett maxvärde för arean vid x=1. Då vet man att den maxvärdet ges av A(1)=2 d.v.s den maximala arean är 2 a.e

Nej, om uppgiften är korrekt formulerad så ges arean A=x·|y|=x·|4-2x|A=x\cdot |y|=x\cdot |4-2x|, där 0<x<40<x<4. Detta uttryck saknar ett största värde, men är uppåt begränsat av 16.

tomast80 Online 4245
Postad: 18 dec 2019 22:55

Förslag på lösning (givet att x,y>0x,y>0).

A(x)=xy=x(4-2x)=-2x2+4x=-2(x2-2x)=A(x)=xy=x(4-2x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=

-2((x-1)2-1)=2-2(x-1)2-2((x-1)^2-1)=2-2(x-1)^2\Rightarrow

maxxA(x)=A(1)=2\max_xA(x)=A(1)=2

benzel 29 – Fd. Medlem
Postad: 19 dec 2019 15:53
tomast80 skrev:

Förslag på lösning (givet att x,y>0x,y>0).

A(x)=xy=x(4-2x)=-2x2+4x=-2(x2-2x)=A(x)=xy=x(4-2x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=

-2((x-1)2-1)=2-2(x-1)2-2((x-1)^2-1)=2-2(x-1)^2\Rightarrow

maxxA(x)=A(1)=2\max_xA(x)=A(1)=2

Behöver man verkligen utveckla uttrycket hela vägen? Räcker det inte med att stoppa in x=1 i uttrycket 4x-2x2 ? Får ut A(1)=2 på det viset också.

Yngve 40141 – Livehjälpare
Postad: 19 dec 2019 16:43 Redigerad: 19 dec 2019 16:47
benzel skrev:

Behöver man verkligen utveckla uttrycket hela vägen? Räcker det inte med att stoppa in x=1 i uttrycket 4x-2x2 ? Får ut A(1)=2 på det viset också.

Nej det måste du inte. 

Men du måste komma fram till ett värde på x som ger maximal area. Om du vill använda kvadratkomplettering för det (som tomast80 gjorde)  så är det praktiskt att först utveckla uttrycket. Annars kan du använda derivata.

Och jag anser fortfarande att svaret är fel (eller att frågan är felformulerad).

Svara
Close