Bestäm exakt ekvationen för två tangenter till y=sin x som har lutningen 0,5

Antingen tittar du i din formelsamling, där de vanligaste exakta värdena på de trigonometriaska funktionerna står listade, eller så tar du fram dem själv med hjälp av en rätvinklig triangel som du skapar genom att halvera en liksidig triangel med hjälp av en bisektris.

Eftersom den liksidiga triangelns vinklar alla är $\frac{\pi}{3}$ så får den rätvinkliga triangeln vinklarna $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{3}$ och $\frac{\pi}{6}$. 

Om den liksidiga triangeln har sidlängd 1 så får den rätvinkliga triangeln sidlängderna 1, 1/2 och $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 

Med hjälp av detta kan du nu enkelt ta fram exakta värden för sinus, cosinus och tangens för vinklarna $\frac{\pi}{3}$ och $\frac{\pi}{6}$.

På samma sätt kan du, med hjälp av en annan rätvinklig triangel lätt ta fram exakta värden på sinus, cosinus och tangens av $\frac{\pi}{4}$.

Den rätvinkliga triangeln får du fram genom att dela en kvadrat med hjälp av en diagonal.

Hej!

Detta minns jag ju från matte 3 :). Men kan samma kvoter användas med radianer tänkte jag? Jag använder det utskrivna formelbladet  för nationella proven ma4. Jag hänger med på att jag måste hitta ett m-värde, men ett sådant där sin x=0,5x+m. M är ju någon form av förskjutning till vänster eller höger (alltså när tangeringspunkten inträffar). Hur vet jag att ett värde kan vara m, men inte ett annat (alltså matematiskt). Vad gör att exempelvis sqrt3/2 kan vara m, men inte 1. Hur ser jag det matematiskt?

Jag är lite osäker på om jag riktigt förstår vad du menar.
Vi har en funktion $f(x)=\sin(x)$ och vi vill ta reda på ekvationen för två tangenter som har lutningen 0,5.

Tangentens lutning vid ett visst värde på $x$ är $f'(x)=\cos(x)$.

Vi vill alltså börja med att lösa ekvationen $\cos(x)=0,5$.

Denna ekvation har oändligt många lösningar $x=\pm\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$, men vi behöver endast välja ut två av dessa.

Vi kan t.ex. välja $x_1=-\frac{\pi}{3}$ och $x_2=\frac{\pi}{3}$.

Vi vet nu att tangenterna vid dessa x-värden har rätt lutning, dvs $k=0,5$.

Tangenternas ekvationer kan då skrivas $y=kx+m_1$ och $y=kx+m_2$.

Nästa steg blir att bestämma $m_1$ och $m_2$ och det gör du enklast genom att ta reda på de båda tangeringspunkternas $y$-koordinater och sedan använda enpunktsformeln $y-y_1=k(x-x_1)$ för att bestämma $m_1$ och $m_2$.

Ta en tangent i taget så minskar du risken att blanda ihop det.

Aha! Nu hänger jag med! Jag tänkte att kvoterna var unika för grader och inte radianer också, och slog därför arccos på miniräknaren (istället för att utläsa exakta värden). Nu hänger jag med. Tack så supermycket!

OK vad bra.

De trigonometriska sambanden "sin(v) = motstående/hypotenusa" och "cos(v) = närliggande/hypotenusa" gäller oavsett om du anger vinkeln i grader eller i radianer.