Bestäm ett värde på konstanten a

Jag tror att det viktigaste här för dig är att använda din kunskap om hur grafen till funktionen beror av a och att sedan använda detta för att leta efter en lösning på problemet ur uträkningarna.

1. Du vet att y = sin(ax) har en period som beror på a, eller hur?
2. Är du med på att om perioden är för lång så blir det färre än två maxpunkter i intervallet?
3. Är du med på att om perioden är för kort så blir det fler än två maxpuniter i intervallet?
4. Är du med på att du ska bestämma ett värde på a så att funktionen "hinner med" exakt två maxpunkter i intervallet?

Lek gärna runt med din grafräknare eller Desmos för att få en känsla för hur a påverkar grafens utseende.

"Sätta ihop" villkoren betyder att använda alla villkor, att se till att alla villkor är uppfyllda.

Här är a=5 vilket leder till att det finns ca 3 maximipunkter. 

När a =1 så finns enbart en maxpunkt i intervallet 

När a=2.1 så hinner grafen exakt med två maximipunkter . Men hur ska jag kunna lösa uppgiften utan att använda digitala hjälpmedel . Jag förstår inte yngves algebraiska förklaring som jag bifogad i min första tråd #1

Snyggt.

Rita in linjen x = pi också så det blir tydligt vad det tillåtna x-intervallet är. Det gäller att

• Om $0\leq a<1>$ så har grafen ingen maxpunkt
• Om $1/2\leq a<5>$ så har grafen en maxpunkt.
• Om $5/2\leq a<9>$ så har grafen två maxpunkter.
• Om $a\geq9/2$ så har grafen fler än två maxpunkter.

======

Den algebraiska lösningen säger just detta.

Att sätta ihop villkoren betyder att alla ska vara uppfyllda, dvs både $a\geq1/2$, $a\geq5/2$ och $a<9>$ ska gälla.

Sammantaget ger det $5/2\leq a<9>$

Jag vill kunna lösa uppgiften algebraiskt.  Så steg 1. Jag deriverar , steg 2 sätter derivatan lika med 0. Hur ska jag tänka sen?

Läs mina svar i den andra tråden.

Du behöver inte derivera.

Du kan lösa ut de värden på x som ger maxpunkter.

Det ger dig en lösningsmängd där lösningarnas värde beror både på n och a.

Jag har sedan visat dig uträkningarna.

Men för att du ska kunna tolka uträkningarna behöver du förstå vad konstanten a har för betydelse för hur tätt maxpunkterna ligger.

@yngve

Jag har inte förstått  dina uträkningar. Så det vore bättre om vi tar det från allra början 

Yngve skrev:

Snyggt.

Rita in linjen x = pi också så det blir tydligt vad det tillåtna x-intervallet är. Det gäller att

• Om $0\leq a<1></1>$ så har grafen ingen maxpunkt
• Om $1/2\leq a<5></5>$ så har grafen en maxpunkt.
• Om $5/2\leq a<9></9>$ så har grafen två maxpunkter.
• Om $a\geq9/2$ så har grafen fler än två maxpunkter.

======

Den algebraiska lösningen säger just detta.

Att sätta ihop villkoren betyder att alla ska vara uppfyllda, dvs både $a\geq1/2$, $a\geq5/2$ och $a<9></9>$ ska gälla.

Sammantaget ger det $5/2\leq a<9></9>$

Man får inte ha geogebra på prov så vill därför kunna komma fram till svaret utan att behöva rita upp grafen på geogebra 

Jag skrev samtidigt som Yngve, nedanstående är samma sak fast med (något) andra ord:

Du behöver inte derivatan. Du vet att sin(v) har max för pi/2, dvs sin(v)=1.
Det är bara en maxpunkt men du vill ha 2 in det givna intervallet.

sin(v)=1 har lösningen
v=pi/2 + 2pi*n

v=ax -->
ax=pi/2 + 2pi*n

Vad händer med a=2, en kurva som går "dubbelt så fort"?
2x=pi/2 + 2pi*n
x=pi/4 + pi*n  -->
n=0: pi/4
n=1: 5pi/4 vilket är större än pi, dvs utanför intervallet.
a=2 ger också bara en maxpunkt i intervallet. Trist.

Vi tar om med alla lösnigarna för maxpunkten:
v=pi/2 + 2pi*n
ax=pi/2 + 2pi*n
x=pi/2 + 2pi*n/a

Du vill veta vilket a som gör att den andra maxpunkten, alltså då n=1 ska v<=pi.
Ekvationen du vill lösa är då "för vilket a är lösningen med n=1 exakt på intervallgränsen pi":
n=1 -->
ax=pi/2 + 2pi*n
x=pi/(2a) + 2pi*n/a
x = pi/(2a) + 2pi*1/a = 5pi/(2a)
Vilket a ger exakt vinkeln pi?
5pi/(2a)=pi
a=2,5

Jag förstår inte varför man ska sätta 

(5pi)/(2a)=pi ger oss två maxpunkter? Varför gäller det här?

Om n=0 och n=1 ger vinklar inom intervallet har vi två maxpunkter.
Vi vet att n=0 gör det eftersom då är:
x1=pi/(2a) vilket är mindre än pi så länge som a>=1

För punkt nummer två, dvs när n=1, får vi:
x = pi/(2a) + 2pi*n/a
n = 1 -->
x = pi/(2a) + 2pi*1/a = 5pi/(2a)

Övre gränsen är p, det är då vi vill veta a:
5pi/(2a)=pi
a=2,5
OBS: med a=2,5 kommer maxpunkt nummer två hända då x=pi. Om t ex a=3 kommer det också vara 2 maxpunkter men den inträffar för ett x < pi.

Exempel :Hade vi istället  velat ha 3 maxpunkter så ska även n=2 hamna i intervallet:
x = pi/(2a) + 2pi*2/a = 9pi/(2a)
9pi/(2a)=pi
a=4,5

Även om du inte har geogebra på provet är det bra att rita upp funktionen och prova olika a för att öka förståelsen.
Skriv funktionen i geogeba som sin(a*k), då skapar den a-konstant som kan "spelas upp" så att grafen animeras:

Programmeraren skrev:

Om n=0 och n=1 ger vinklar inom intervallet har vi två maxpunkter.
Vi vet att n=0 gör det eftersom då är:
x1=pi/(2a) vilket är mindre än pi så länge som a>=1

För punkt nummer två, dvs när n=1, får vi:
x = pi/(2a) + 2pi*n/a
n = 1 -->
x = pi/(2a) + 2pi*1/a = 5pi/(2a)

Övre gränsen är p, det är då vi vill veta a:
5pi/(2a)=pi
a=2,5
OBS: med a=2,5 kommer maxpunkt nummer två hända då x=pi. Om t ex a=3 kommer det också vara 2 maxpunkter men den inträffar för ett x < pi.

Exempel :Hade vi istället  velat ha 3 maxpunkter så ska även n=2 hamna i intervallet:
x = pi/(2a) + 2pi*2/a = 9pi/(2a)
9pi/(2a)=pi
a=4,5

Även om du inte har geogebra på provet är det bra att rita upp funktionen och prova olika a för att öka förståelsen.
Skriv funktionen i geogeba som sin(a*k), då skapar den a-konstant som kan "spelas upp" så att grafen animeras:

Hej! Jag känner inte riktigt att jag hänger med på din förklaring. Kan vi ta det stegvist istället?

Varje post har flera steg men de är skrivna i steg. Läs noga och gå inte vidare till nästa rad om något är oklart.

Om du går tillbaka till #11 och din fråga i #12, är du med så långt?

Lite olika a i bilden nedan. a står angivet till vänster om graferna.  Röda linjen är x=pi.
Fundera på varför det blir som det blir.

Så långt är jag med på uträkningen 

Men sen kommer jag inte vidare . Vad är det som måste gälla för att funktionen sin(ax)=y ska ha två maxpunkter

Talet handlar helt och hållet om hur olika a gör att kurvan går olika fort, dvs "trycks ihop" med större a. Och vad a ska vara för att rätt antal maxpunkter ska inträffa mellan 0 ch pi.

Titta på bilderna med olika a. Tänk igenom varför kurvan får det utseende den får för respektive värde.

Jag förstår att en längre period gör att det är färre antal maxpunkter i intervallet och att en kortare period gör att det blir fler maxpunker i intervallet. Men jag förstår inte hur jag ska komma vidare med min uträkning

Bra. Du vill ha två max punkter. Den första får du då n=0 --> x1=pi/(2a)

Den andra max kommer när n=1.

Ok?

ja så långt är jag med

Sätter in n=1 -->
x = pi/(2a) + 2pi*1/a = 5pi/(2a)

Intervallet som den andra maxpunkten ska hamna i är 0 <= x <= pi

Om maxpunkten hamnar precis på intervallgränsen så är alltså x=pi

Ok?

vänta, så man ska sätta in n=1 

man får då ett x värde på x=5pi/(2a)

Så långt har jag förstått men det du skriver efter hängde jag ej med på

"

Intervallet som den andra maxpunkten ska hamna i är 0 <= x <= pi

Om maxpunkten hamnar precis på intervallgränsen så är alltså x=pi"

Du var med på att maxpunkt kommer när n=1. Då får vi alltså

x = pi/(2a) + 2pi*1/a = 5pi/(2a)

Titta på nedre vänstra delbilden i #15. Ser du att andra maxpunkten ligger exakt på x=pi (röda linjen)?

ja precis så långt är jag med men jag är inte med på det här " Ser du att andra maxpunkten ligger exakt på x=pi (röda linjen)?" Vart kan jag se det?

Och hur kan vi göra så att x=pi ger ett maxvärde?

Vi har ju formeln för x i andra maxpunkten:
x=pi
5pi/(2a)=pi
a=2,5

"Och hur kan vi göra så att x=pi ger ett maxvärde?"

jag vet faktiskt inte hur jag ska tänka. ...?

Varför ska man skriva 5pi/(2a)=pi

Du är med på att för att det ska vara 2 maxvärden i intervallet 0 till pi så måste det andra maxvärdet hända som senast då x=pi.

Kommer max precis innan så är det också två st i intervallet men om det kommer precis efter så är det bara en maxpunkt i intervallet.

Vi löste helt enkelt för vilket a som andra maxpunkten hamnar exakt på x=pi.

(Titta på bilden för a=3. Då ser du att den andra  maxpunkten kommer lite innan x=pi)

hur ska man veta att just sin(ax)=pi ger 2 maxpunkter utan att använda geogebra?

Geogebra-bilderna är bara till för att förklara varför ett större a ger en mer hoptryckt kurva. Som illustration. Geogebra används inte till lösningen.

jaha gäller detta alltid så om intrvallet istället hade varit att x är mellan 0 och 2pi så jag jag istället behövtlösa ekvationen y=sin(ax)

då y=2pi menar att 5pi/2a=2pi

Du menar nog ekavationen (för att få 2 maxpunkter, dvs n=1)

x=2pi
5pi/(2a)=2pi

ja precis. Men varför ska man testa enbart med n=1

varför inte n=2 eller 3?

Du löste ju först ekvationen och fick:

x = pi/(2a) + 2pi*n/a

n=0 ger första lösningen (första maxpunkten)

n=1 ger andra lösningen (andra maxpunkten)

Om du löser med n=2 kommer du få 3 maxpunkter i intervallet

Ja. Om  du bara vill ha 1 maxpunkt så kan a vara 1/2

Ja. Nu när du nog har förstått, titta på bilderna igen för olika a

Så om n=0 så får jag 1 maxpunkt 

om n=1 får jag 2 maxpunkter

om n=2 får jag 3 maxpunkter 

Varför gäller detta?

Ja det kan man säga. Men viktigt att förstå vad man gör. Du löser en ekvation för att få den första/andra/tredje maxpunkten precis på intervallets gräns x=pi

Vad hade hänt om intervallets gräns istället hade varit 2pi? Skulle jag då istället ha behövt sätta n=1 och satt x=2pi?

Ja, om du vill ha 2 maxpunkter eftersom andra maxpunkten inträffar då n=1 (du löste först en ekvation för att hitta alla maxpunkter, för att få ett uttryck för alla x)

okej alltså ska a =5/2 = 2.5

Ja.

Detta är egentligen inte ett svårt tal. 

Sätt upp f(x)=sin(ax) i geogebra och "dra" eller "spela" a-värden mellan 1 och 10. 

Det handlar bara om var 2:a maxpunkten händer för olika a

Okej men kan du skriva en liknande fråga som jag kan få lösa så jag dubbelkollat att jag har förstått 100%

Kanske ingen större variation men:

f(x)=cos(ax)
Bestäm a så att f(x) har 3 maxpunkter i intervallet 0 till 2pi

Fick att a=4

Hur många maxpunkter har du då i intervallet 0 till 2pi?

3 maxpunkter då a=4

Är det rätt?

Känns som du tog "3" och ändrade med 1 utan eftertanke.

Vi kollar hur många rötter som hamnar i intervallet 0 till 2pi om rötterna kan skrivas som
x=2pi/a*n
och du beräknade a för n=4:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
--> 5 st, alltså 5 maxpunkter.

Ska man testa med olika värden på n som ger ett x som passar i intervallet?

Du skrev ju i din fråga att man ska bestämma ett a så att f(x) har 3 maxpunkter i intervallet 0 till 2pi hur kommer det sig nu att det ska vara 5 maxpunkter?

Det ska inte vara 5. Men du beräknade ett a som ger 5 maxpunkter. Jag visade alltså felet.

Du ska inte testa dig fram

När du fått fram uttrycket x=2pi/a*n
måste du fundera ut vilket x och vilket n du behöver sätta in för att lösa ut a.

x:et ska vara 2pi för det är ju slutet av grafen.. Ska man inte sätta in det högsta värdet i intervallet?

Jo. Men hur gör du för att veta vilken n du ska ta? Vad betyder n?

om vi sätter in n=3 så betyder ju det att vi ska ha 4 maxpunkter 

Ja. Vilket n ska du alltså använda för att få 3 maxpunkter?

Jaha n=2 ger oss 3 maxpunkter  så jag borde sätta in n=2 för att få 3 maxpunkter och om jag vill ha 2 maxpunktef ska jag sätta in n=1

Lösning på första frågan. 
===
Lösning på programmerarens fråga är :

Är det rätt?

Ja