Bestäm ett troligt gränsvärde

Jag har inte riktigt förstått gränsvärden än trotts att jag tittat på videos. I tidigare uppgifter har man förenklat uttrycken för att hitta ett x värde, med på dessa har jag ingen aning om hur jag ska lösa uppgiften.

Uppgift 2204 ur matematik 5000:

Bestäm ett troligt värde på gränsvärdet genom att beräkna uttryckets värde för mindre och mindre värden på x.

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{2 x}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{2_{}^{x} - 1}{x}$

---

Jag har provat sätta in olika x-värden i uttrycken. Efter som det är $\lim_{x \to 0}$ , när x går mot noll så betyder det att x inte kan vara noll efter som det inte är definierat då? Så det måste vara ett värde större än noll. Det kan alltså vara vilket x-värde som helst, men så nära noll som möjligt?

Hej!

Testa mindre och mindre värden på x och beräkna kvoten, förslagsvis: x = 0,1; 0,01; 0,001 o.s.v. Då kommer du se ett mönster på vad kvoten går mot.

Det stämmer att du inte direkt kan sätta in x = 0.

/Tomas

Tack för svaret! :) Jag gjorde en tabell över olika x-värden och såg då mönstret att de fick nästan samma x-värde.

Ett tips för ökad förståelse och för att kunna verifiera gränsvärdena är att tolka uttrycken ovan som en derivata:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 h} - 1}{h} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f (h) - f (0)}{h} = \frac{1}{2} \cdot f' (0) f' (x) = \frac{d}{d x} \sqrt{1 + 2 x} = \frac{1 \cdot 2}{2 \sqrt{1 + 2 x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot f' (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

P.s.s. fås för det andra gränsvärdet:

$\lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{(e^{\ln 2})}^{x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\ln 2 \cdot x} - 1}{x} = f' (0) f' (x) = \frac{d}{d x} e^{\ln 2 \cdot x} = \ln 2 \cdot 2^{x} \Rightarrow f' (0) = \ln 2 \cdot 1 = \ln 2 \approx 0, 693$

Svara

Visa senaste svar