Bestäm ett Maclaurinpolynom

Hej! Jag sitter med en uppgift som rör Maclaurinpolynom och har kört fast

Uppgiften är:

Bestäm ett polynom p(x) sådant att $|{(1 + x)}^{1 / 3} - p (x)| \leq \frac{1}{2} x^{2} d å |x| \leq \frac{1}{2}$

Om jag utvecklar f(x) = ${(1 + x)}^{1 / 3}$ till första ordningen så borde ${(1 + x)}^{1 / 3} - p (x)$ bli resttermen.

Alltså kan uppgiften ses som en uppskattning av storleken på resttermen av Maclaurinpolynomet.

$f (x) = {(1 + x)}^{1 / 3} f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + x)}^{2 / 3}} f'' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{5 / 3}} p (x) = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{2}{9} \frac{1}{{(θ x + 1)}^{5 / 3}} x^{2} 0 \leq θ \leq 1$

Här börjar mina problem,

facit säger att resttermen ska vara $- \frac{1}{9} \frac{1}{{(θ x + 1)}^{5 / 3}} x^{2}$ de två andra är identiska med mina, så de har inte brutit ut något jag kan uppfatta. Jag har till och med testat att derivera i ett verktyg på nätet som ger samma andraderivata som jag fick fram.

Vidare så borde |f(x)-p(x)|= $\frac{2}{9} \frac{1}{{(θ x + 1)}^{5 / 3}} x^{2}$ (förutsatt att jag deriverat rätt)

Jag får dock problem med termerna ${(1 + x)}^{1 / 3} - 1 - \frac{1}{3} x$

Jag har använt alla trick jag kan och får inte dessa termer att slå ut varandra.

Jag vet inte riktigt vad jag gör fel här.

Tack i förväg.

Om du vill ha en restterm av andra graden så ska ditt Maclaurinpolynom $p(x)$ vara av första graden. Om du har ett Maclaurinpolynom av första graden och andraderivatan av din funktion $f$ uppfyller $m \leq f^{(2)}(x) \leq M$ för alla $x$ i ett visst intervall runt $x=0$ så kan resttermen $E$ estimeras enligt $m \frac{x^2}{2} \leq E(x) \leq M \frac{x^2}{2}$ för alla $x$ i det aktuella intervallet. Det allmänna fallet kan du läsa mer om här: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem#Estimates_for_the_remainder

I vårt fall är vi intresserade av intervallet $|x| \leq \frac{1}{2}$ , d.v.s. $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ . Notera att din andraderivata $f^{(2)}(x)=-\frac{2}{9} \frac{1}{(1+x)^{5/3}}$ uppfyller $-1 \leq f^{(2)}(x) \leq 1$ när $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ . Därmed kommer din restterm att uppfylla $- \frac{x^2}{2} \leq E(x) \leq \frac{x^2}{2}$ , eller $|E(x)| \leq \frac{x^2}{2}$ , då $|x| \leq \frac{1}{2}$ om ditt Maclaurinpolynom är av första graden.

Svara