Bestäm ett exakt värde på områdets area (Matematik/Matte 4)

Om det står x-axeln vill de förmodligen att du ska beräkna just det området. Det betyder att du kan beräkna två integraler i den här uppgiften, en i intervallet -1.5 till 0 och en från 0 till 3 och sedan summera dem.

Jag förstår inte riktigt vad du gör när du försöker integrera.

$\displaystyle \int \sqrt{2x+3}\,dx=\frac13(2x+3)^{\frac 32}+C$

Om det står att du ska ange svaret exakt får du inte avrunda.

Men jag förstår inte hur det ska vara x axeln.. Ska det inte vara y? För känns något fel med frågan eller ?

Det ska vara x-axeln och området är entydigt bestämt.

Du blir nog lite förvirrad av att din skiss av grafen till $y=\sqrt{2x+3}$ inte är helt rätt. Tänk på definitionsmängden.

Är det här området jag ska räkna ut arean av?

ska man inte bara ta integralen mellan x=-2 till x=3 där man tar överfunktionen y=sqrt(2x+3) minus undre funktionen y=x ?

Ja det markerade området är rätt.

Men i intervallet där x<0, vilken är den undre funktionen? I din skiss syns tydligt att det inte är y=x. Även en vågrät linje är en linje.

Katarina149 skrev:

Är det här området jag ska räkna ut arean av?

Nästan. Den undre gränsen är inte rätt.

Lös ekvationen $\sqrt{2x+3}=0$ för att hitta ett exakt värde på den undre gränsen.

ska man inte bara ta integralen mellan x=-2 till x=3 där man tar överfunktionen y=sqrt(2x+3) minus undre funktionen y=x ?

Om du rättar till undre gränsen och beräknar den integralen du har föreslagit så får du arean av följande område:

Men uppgiften gäller istället att areaberäkna följande område:

Okej. Jag löste ekvationen sqrt(2x+3)-x =0 och fick det till att bli x=-3/2 vilket får vara den undre integrationsgränsen. Jag tar därefter integralen av övre funktionen minus underfunktionen . Men jag har svårt att sedan hitta den primitiva funktionen av sqrt(2x+3)-x

Du kan göra så, men du får då inte fram den efterfrågade arean.

Men visst, börja så och subtrahera sedan arean av den extra triangel under x-axeln som du då får med.

För att hitta den primitiva funktionen kan du först skriva om första termen som (2x+3)^0,5 och sedan gissa dig fram till en primitiv funktion med hjälp av metoden "gissa", "testa", "korrgera" (repetera).

Varför får jag inte fram den efterfrågade arean? Om jag gör så här? y=sqrt(2x+3) är ju hela tiden övre funktionen och y=x är undre funktionen i intervallet x= -3/2 och x=3

Titta på din skiss. I intervallet x=-3/2 till x=0 är inte y=x den undre funktionen. Det är x-axeln som är den undre funktionen.

Jag förstår inte vad du menar med att x axeln är den undre funktionen? Varför ska man räkna med x axeln som undre funktion i intervallet x=-3/2 och x=0? Varför ska man inte räkna med y=x som undre funktion?

Det är givet i uppgiften. Dessutom kan ingen skärningspunkt mellan linjen och kurvan beräknas för negativa y eftersom kurvan inte existerar för negativa y.

Kan du förklara med hjälp av en bild vad du menar?

Jag har lagt in tydliga bilder i svar #7

Yngve skrev:
Katarina149 skrev:

Är det här området jag ska räkna ut arean av?

Nästan. Den undre gränsen är inte rätt.

Lös ekvationen $\sqrt{2x+3}=0$ för att hitta ett exakt värde på den undre gränsen.

ska man inte bara ta integralen mellan x=-2 till x=3 där man tar överfunktionen y=sqrt(2x+3) minus undre funktionen y=x ?

Om du rättar till undre gränsen och beräknar den integralen du har föreslagit så får du arean av följande område:

Men uppgiften gäller istället att areaberäkna följande område:

Okej nu förstår jag när jag tittar noggrannare på bilden : så den undre funktionen är x axeln . Ska man isåfall inte bara ta integralen mellan x=-3/2 och x=0 där man tar övrefunktionen y=sqrt(2x+3) -0 där 0 är den undre funktionen?

Korrekt.

Nu har jag ställt upp rätt integral med rätt integrationsgräns. Däremot blir uträkningen sist fel. Jag får att svaret/arean blir ”odefinerat”

Katarina149 skrev:

Däremot blir uträkningen sist fel. Jag får att svaret/arean blir ”odefinerat”

Jag skrev:

För att hitta den primitiva funktionen kan du först skriva om första termen som (2x+3)0,5 och sedan gissa dig fram till en primitiv funktion med hjälp av metoden "gissa", "testa", "korrgera" (repetera).

Har du gjort detta? Dvs kontrollerat ditt förslag på primitiv funktion?

Hur gjorde du i så fall det och vad kom du fram till?

Jag använde mig av formeln a^x , där den primitiva funktionen av a^x är a^x/ln(a) . Jag vet inte hur jag ska testa mig fram till den primitiva funktionen som du skriver. Jag vet inte hur jag ska tänka för att få fram den primitiva funktionen

Eftersom integrationsvariabeln x står i basen och inte i exponenten så ska du använda mallen för xⁿ, inte mallen för a^x.

För att kontrollera om ditt förslag på primitiv funktion är rätt ska du derivera förslaget. Om du då får tillbaka ursprungsfunktionen så är förslaget rätt, annars inte.

Dvs om F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till f(x), annars är det inte det.

Nu blir det rätt…

Jag fick arean till 27/2 ae

Har du kontrollerat ditt förslag på primitiv funktion?

Om ja: Visa detaljerat hur du gjorde och vad du kom fram till.
Om nej: Gör det, visa detaljerat hur du gjorde och vad du kom fram till.

ja jag har kontrollerat svaret genom att multiplicera ner 1.5 och subtrahera täljaren med 1 då blir täljaren 0.5 samtidigt som 1.5 försvinner då man förkortar bort 1.5

Men (2x+3)^1,5 är en sammansatt funktion. Du glömmer den inre derivatan.

Förlåt men nu blir jag väldigt förvirrad. Kan jag få hjälp med att räkna fram den primitiva funktionen till roten ur(2x-3)

Funktionen du vill integrera är $f(x)=(2x+3)^{0,5}$
Gissa på en primitiv funktion. Din gissning är $F(x)=\frac{(2x+3)^{1,5}}{1,5}$
Kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det.
$F'(x)=1,5\cdot\frac{(2x+3)^{0,5}}{1,5}\cdot2=2(2x+3)^{0,5}$
Jämför med $f(x)$ . Det är fel med en faktor $2$ . Du måste kompensera för den genom att dividera med $2$ .
Gör en ny gissning på primitiv funktion. Den nya gissningen är $F(x)=\frac{(2x+3)^{1,5}}{2\cdot1,5}$
Kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det. $F'(x)=1,5\cdot\frac{(2x+3)^{0,5}}{2\cdot1,5}\cdot2=(2x+3)^{0,5}$ .
Jämför med $f(x)$ . De är identiska. Alltså är den nya gissningen rätt

Jag vet att du har använt den här metoden "gissa", "kontrollera", "justera", "gissa igen" o.s.v. tidigare, till exempel i den här tråden.

Katarina149 skrev:
Förlåt men nu blir jag väldigt förvirrad. Kan jag få hjälp med att räkna fram den primitiva funktionen till roten ur(2x-3)

Du kan använda denna hemsida som hjälp ifall du sitter fast på att hitta integralen av en viss funktion.

Yngve skrev:

Funktionen du vill integrera är $f(x)=(2x+3)^{0,5}$

Gissa på en primitiv funktion. Din gissning är $F(x)=\frac{(2x+3)^{1,5}}{1,5}$

Kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det.

$F'(x)=1,5\cdot\frac{(2x+3)^{0,5}}{1,5}\cdot2=2(2x+3)^{0,5}$

Jämför med $f(x)$ . Det är fel med en faktor $2$ . Du måste kompensera för den genom att dividera med $2$ .

Gör en ny gissning på primitiv funktion. Den nya gissningen är $F(x)=\frac{(2x+3)^{1,5}}{2\cdot1,5}$

Kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det. $F'(x)=1,5\cdot\frac{(2x+3)^{0,5}}{2\cdot1,5}\cdot2=(2x+3)^{0,5}$ .

Jämför med $f(x)$ . De är identiska. Alltså är den nya gissningen rätt

Jag vet att du har använt den här metoden "gissa", "kontrollera", "justera", "gissa igen" o.s.v. tidigare, till exempel i den här tråden.

Man ska multiplicera nämnaren med 2 dvs med inre derivatan av funktionen

Katarina149 skrev:

Man ska multiplicera nämnaren med 2 dvs med inre derivatan av funktionen

Ja, för att kompensera för den inre derivatan som ju kommer ut som en faktor vid derivering.

Vi tar ett annat exempel:

Kan du ta fram en primitiv funktion till f(x) = cos(3x)?

sin(3x)/3

Ja, och det är precis av samma anledning som den primitiva funktionen till (2x+3)^0,5 är (2x+3)^1,5/(2•1,5)

Du glömmer termen x i din primitiva funktion (blåmarkerad).

Oj jag såg felet

Är det rätt?

Det ser rättigheter, men du glömmer.mer att skriva "dx" i integralerna.

Så här ska det vara:

ok men är det annars rätt om jag rättar till det här ”dx”

Ja, jag tycker att det ser bra ut

Hej, jag undrar om man kunde ha löst denna uppgift utan att ha ritat kurvan för jag förstår inte hur man på fri hand kan Rita ut kurvan för att veta vad som är över och vad som är under funktion?

Att rita en kurva för hand är itne svårt, men det tar tid:

välj ett x-värde
beräkna motsvarande y-värde
pricka in i ett koordinatsystem

Upprepa från 1 tills du ser hur kurvan ser ut.

När jag gick på gymnasiet var man tvungen att göra en värdetabell och skriva av alla x-och y-värden innan man började pricka in punkterna. Det var urtråkigt!

OinkOinkOink skrev:
Hej, jag undrar om man kunde ha löst denna uppgift utan att ha ritat kurvan för jag förstår inte hur man på fri hand kan Rita ut kurvan för att veta vad som är över och vad som är under funktion?

Ja, det går att lösa uppgiften utan att först rita grafen.

Du måste hitta alla skärningspunkter mellan de tre begränsningarna $y=x$ , $y=\sqrt{2x+3}$ och $y=0$ .

Att sedan ta reda på vilken som är övre respektive undre funktion går att göra ändå, t.ex. genom att välja en godtycklig punkt $x_1$ mellan skärningspunkterna och sedan helt enkelt jämföra funktionsvärdena $f(x_1)=x_1$ , $g(x_1)=\sqrt{2x_1+3}$ och $h(x_1)=0$ .