Bestäm en vektor till en ortonormerad bas.
Hejsan! Uppgiften i fråga lyder "Bestäm en vektor V3 så att V3 tillsammans med V1 = 1/3(-2,-1,2) och V2 = 1/3(1,2,2) utgör en ortonormerad bas. Bestäm koordinaterna för U...
Så som jag tänkt och gjort är att jag döpt V3 till (x1,x2,x3) och sedan har jag satt V1*V3 = 0 och V2*V3 = 0
Jag löser systemet och får en lösning på parameterform där x1 = 0, x2 = -2t, x3 = t
Sätter jag t = 1 får jag vektorn (0, -2, 1) men det är fel svar. Jag löste systemet med tredjedeln, alltså -2/3x1 - 1/3x2 osv. Vad gör jag för fel i mitt tankesätt? Vad är det för vektor jag fått ut av systemet?
Svaret i facit säger att V3 = 1/3 (-2, 2, -1) Jag har sett att det finns en fråga i forumet med svar, men jag vill gärna veta vad exakt det är jag gjort för något här, då jag faktiskt trodde jag hade börjat få kläm på det.
Hälsningar
en liten rättning. Jag såg att jag gjort ett teckenfel då jag skulle lösa ut x1, och fick därmet V3 = (2, -2, 1) Och detta motsvarar ju -1 * (-2, 2, -1) vilket var koordinaterna för vektorn i facit. Varför har jag fått ut rätt koordinater men motsatt riktning? Och varför är vektorn inte normerad då jag räknat med normerade vektorer?
Tillägg: 19 okt 2021 15:34
Så som jag ser det så utgör V1 och V2 en bas för ett plan, och när jag löser för en V3 så spänner de tre upp ett rum. Min vektor som är samma vektor som facit fast med motsatt riktning borde ju således vara precis lika rätt, eftersom det enda som skiljer de åt är riktningen. Men ett ortonormerat rum spänns ju upp i båda fall, eller har jag fel?
Om jag tänkt rätt där så är min enda återstående fråga, varför är min vektor inte redan normerad då jag räknat med normerade vektorer?
Du måste normera V3. |V3| = 1. Så du får två möjliga vektorer. Utan ytterligare krav (tex orientering) så kan du välja vilken som.
Du räknar ju ut en lösning som tar fram alla vektorer som är ortogonala mot V1 och V2. Sedan måste du välja t så att vektorn blir normerad, du får då två möjliga värden på t och två möjliga vektorer.
PATENTERAMERA skrev:Du räknar ju ut en lösning som tar fram alla vektorer som är ortogonala mot V1 och V2. Sedan måste du välja t så att vektorn blir normerad, du får då två möjliga värden på t och två möjliga vektorer.
Okej, ja det är ju självklart nu när du säger det. Men om jag ska normera vektorn behöver jag väll bara ta 1/* V? Jag förstår inte hur mitt val av t påverkar det? Förutom det uppenbara att V får andra koordinater förstås. När jag sätter t = 1 och normerar den får jag 1/3 (2, -2, 1) Men hade jag satt t = 2 får jag istället 1/6 (4, -4, 2) Båda ger ju samma normerade vektor. Jag förstår inte vad du menar med "Välja t så att vektorn blir normerad, du får då två möjliga värden på t och två möjliga vektorer".
Tack för svar förresten!
Nu förstod jag vad du menade, jag satte in V3 = (2t, -2t, t) och använde villkoret V3*V3 = 1 och fick t = +- 1/3 och därefter sätter t till ett av värdena och bryter ut 1/3 och får då samma vektor som jag fick.
Jag tänkte att du har den allmänna lösningen där V3 är en funktion av t. Och sedan bestämmer t genom att kräva abs(V3(t)) = 1. Men det går att göra som du gör också, välj t och normera sedan. Men du inser hursomhelst att det alltid finns två normerade vektorer som är ortogonala mot de två första vektorerna.
