Bestäm en ON bas för W vinkelrät (Matematik/Universitet)

Om du har en vektor i från ortogonala komplementet till W, vad händer om du tar skalärprodukten mellan den och basvektorerna i W?

Hondel skrev:
Om du har en vektor i från ortogonala komplementet till W, vad händer om du tar skalärprodukten mellan den och basvektorerna i W?

Vilka basvektorer i W är det du syftar på? Menar du de givna i uppgift 5 eller de man fick ut som ortonormala?

I uppgift 5 hade jag dessa 2 ON baser dvs ( -1 0 0 0 1) och (-1 -1 1 0 0) och mitt komplement W är (1/5 -2/5 2/5 0 1/5). När jag tar skalärprodukten mellan dem får jag 2 nya vektorer ( -1/5 0 0 0 1/5) och (-1/5 1/5 2/5 0 0)

Har du tagit fram en ON-bas för W? I så fall, vilka är vektorerna i basen?

Du kan sedan utöka denna bas till en ON-bas för hela R⁵. Vektorerna i denna bas som inte redan ingick i basen för W utgör en ON-bas för det ortogonala komplementet till W.

PATENTERAMERA skrev:
Har du tagit fram en ON-bas för W? I så fall, vilka är vektorerna i basen?

Du kan sedan utöka denna bas till en ON-bas för hela R⁵. Vektorerna i denna bas som inte redan ingick i basen för W utgör en ON-bas för det ortogonala komplementet till W.

Aa det har jag . Det är dessa vektorer

( -1/sqrt(2) 0 0 0 1/sqrt(2)) och ( -1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10))

Du kan sedan lägga till tre nya vektorer så att du får en bas för hela R⁵. Sedan kan man använda Gram-Schmidt för att generera en ON-bas.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan sedan lägga till tre nya vektorer så att du får en bas för hela R⁵. Sedan kan man använda Gram-Schmidt för att generera en ON-bas.

Hm förstår ej riktigt hur jag ska göra det? Ska jag multiplicera On baserna med W komplementet jag har ?

Nja, försök att hitta tre ytterligare vektorer så att du tillsammans med de två som du redan har får fem linjärt oberoende vektorer. Du har då en bas för R⁵. Du kan göra en ON-bas från detta med Gram-Schmidt. De två första är ju redan fixade så du kan starta direkt med de tre nya. Du har då en ON-bas för hela R⁵, där de två första vektorerna spänner upp W och de tre senare spänner upp W^$⊥$.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, försök att hitta tre ytterligare vektorer så att du tillsammans med de två som du redan har får fem linjärt oberoende vektorer. Du har då en bas för R⁵. Du kan göra en ON-bas från detta med Gram-Schmidt. De två första är ju redan fixade så du kan starta direkt med de tre nya. Du har då en ON-bas för hela R⁵, där de två första vektorerna spänner upp W och de tre senare spänner upp W^$⊥$.

Jag är ej med på hur jag ska hitta dessa 3 vektorer faktiskt. En idé var att använda projektion formeln för att ta fram dem mha W komplementet och de 2 ON baserna jag fick ut i uppgift 5. Men om den idén kommer bara ge mig ytterligare 2 vektorer till ?

Enklast är kanske att leta bland standardbasens vektorer.

Ett annat sätt, som när jag tänker på det kanske är enklare, är att hitta den allmänna lösningen till ekvationssystemet

w₁•x = 0

w₂•x = 0,

där w₁ och w₂ är dina basvektorer för W.

Lösningsmängden till detta system är just $W^{⊥}$ , och du borde kunna identifiera en bas så snart du löst systemet.

PATENTERAMERA skrev:
Enklast är kanske att leta bland standardbasens vektorer.

Ett annat sätt, som när jag tänker på det kanske är enklare, är att hitta den allmänna lösningen till ekvationssystemet

w₁•x = 0

w₂•x = 0,

där w₁ och w₂ är dina basvektorer för W.

Lösningsmängden till detta system är just $W^{⊥}$ , och du borde kunna identifiera en bas så snart du löst systemet.

Vilka är mina basvektorer och vad är x ? Det står lika med 0 på högerledet? Var är komplement W ?

Du hade ju räknat ut en bas för W, det är den basen jag tänker på. x är den obekanta variabeln i systemet (en vektor i R⁵).

PATENTERAMERA skrev:
Du hade ju räknat ut en bas för W, det är den basen jag tänker på. x är den obekanta variabeln i systemet (en vektor i R⁵).

Aa du menar on bas i uppgift 5 ?

Ja, men din bas ser lite konstig ut ser jag nu, den andra vektorn är i R⁴, och inte i R⁵ som sig bör.

Bäst att du checkar så att du fått en korrekt ON-bas för W innan du räknar vidare.

Nu fick jag detta

PATENTERAMERA skrev:
Ja, men din bas ser lite konstig ut ser jag nu, den andra vektorn är i R⁴, och inte i R⁵ som sig bör.

Bäst att du checkar så att du fått en korrekt ON-bas för W innan du räknar vidare.

På vilket sätt ser den konstig ut? Var är den konstig?

Det är bara fyra koordinater, det skall vara fem. Sedan kan du multiplicera bort de besvärliga rötterna från ekvationerna så att det blir lite smidigare räkningar.

Men förstår du varför man kan göra på detta vis?

Det ortogonala komplementet till W är mängden av vektorer i R-fem som är ortogonala mot varje vektor i W. Det räcker dock med att kolla efter vektorer som är ortogonala mot var och en av basvektorerna. Om en vektor är ortogonal mot basvektorerna så är den också ortogonal mot varje vektor i W. Vidare om en vektor ligger i det ortogonala komplementet till W så måste den också vara ortogonal mot båda basvektorerna. Så lösningsmängden till systemet är precis lika med det ortogonala komplementet till W.

Så dubbelkolla först att du verkligen fått fram en ON-bas för W.

Lös systemet.

Hitta en bas för lösningsrummet till systemet, och således en bas för det ortogonala komplementet till W.

Använd Gram-Schmidt för att göra om till ON-bas, om inte redan ON-bas förstås.

Lycka till.

PATENTERAMERA skrev:
Det är bara fyra koordinater, det skall vara fem. Sedan kan du multiplicera bort de besvärliga rötterna från ekvationerna så att det blir lite smidigare räkningar.

Men förstår du varför man kan göra på detta vis?

Det ortogonala komplementet till W är mängden av vektorer i R-fem som är ortogonala mot varje vektor i W. Det räcker dock med att kolla efter vektorer som är ortogonala mot var och en av basvektorerna. Om en vektor är ortogonal mot basvektorerna så är den också ortogonal mot varje vektor i W. Vidare om en vektor ligger i det ortogonala komplementet till W så måste den också vara ortogonal mot båda basvektorerna. Så lösningsmängden till systemet är precis lika med det ortogonala komplementet till W.

Så dubbelkolla först att du verkligen fått fram en ON-bas för W.

Lös systemet.

Hitta en bas för lösningsrummet till systemet, och således en bas för det ortogonala komplementet till W.

Använd Gram-Schmidt för att göra om till ON-bas, om inte redan ON-bas förstås.

Lycka till.

Jag trodde jag hade en on bas. Menar du att den är fel? Jag hänger tyvärr ej med på alla dessa steg.

Jag har inte kontrollräknat. Men om en vektor bara har fyra komponenter så har något gått fel.

PATENTERAMERA skrev:
Jag har inte kontrollräknat. Men om en vektor bara har fyra komponenter så har något gått fel.

Vilken vektor syftar du på? ON bas ? De ska vara fyra komponenter ? Att vektorer I R5 ska ha fem komponenter är självklart.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Har du tagit fram en ON-bas för W? I så fall, vilka är vektorerna i basen?

Du kan sedan utöka denna bas till en ON-bas för hela R⁵. Vektorerna i denna bas som inte redan ingick i basen för W utgör en ON-bas för det ortogonala komplementet till W.

Aa det har jag . Det är dessa vektorer

( -1/sqrt(2) 0 0 0 1/sqrt(2)) och ( -1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10))

Den andra vektorn som du anger ovan har bara fyra komponenter, något har gått fel.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Har du tagit fram en ON-bas för W? I så fall, vilka är vektorerna i basen?

Du kan sedan utöka denna bas till en ON-bas för hela R⁵. Vektorerna i denna bas som inte redan ingick i basen för W utgör en ON-bas för det ortogonala komplementet till W.

Aa det har jag . Det är dessa vektorer

( -1/sqrt(2) 0 0 0 1/sqrt(2)) och ( -1/sqrt(10),2/sqrt(10),-2/sqrt(10),-1/sqrt(10))

Den andra vektorn som du anger ovan har bara fyra komponenter, något har gått fel.

Yes jag glömde en nolla på andra vektorn.. Då ska det vara 5 komponenter.

OK

Med x = (a b c d e)^T så blir ekvationerna i systemet (efter jag blivit av med rötterna)

-a + e = 0

-a + 2b - 2c - e = 0.

Vi får (kontrollräkna)

a = e

b = c + e

Där c, d och e kan väljas godtyckligt.

PATENTERAMERA skrev:
OK

Med x = (a b c d e)^T så blir ekvationerna i systemet (efter jag blivit av med rötterna)

-a + e = 0

-a + 2b - 2c - e = 0.

Vi får (kontrollräkna)

a = e

b = c + e

Där c, d och e kan väljas godtyckligt.

Hm jag trodde vi skulle använda w1 och w2? W1x-w2x=0

Nja,

Ekvationerna var

w₁•x = 0 (dvs x skall vara ortogonal mot w₁)

w₂•x = 0 (dvs x skall även vara ortogonal mot w₂).

PATENTERAMERA skrev:
Nja,

Ekvationerna var

w₁•x = 0 (dvs x skall vara ortogonal mot w₁)

w₂•x = 0 (dvs x skall även vara ortogonal mot w₂).

Hm okej då har jag missförstått vad jag ska göra nu..

Du får ställa upp ekvationerna och lösa dem.

PATENTERAMERA skrev:
OK

Med x = (a b c d e)^T så blir ekvationerna i systemet (efter jag blivit av med rötterna)

-a + e = 0

-a + 2b - 2c - e = 0.

Vi får (kontrollräkna)

a = e

b = c + e

Där c, d och e kan väljas godtyckligt.

Jag är tyvärr ej med på varför du väljer x= (a b c d e )^T

PATENTERAMERA skrev:
Du får ställa upp ekvationerna och lösa dem.

Ja men då måste x vara 0 kom jag fram till eftersom vi får något x*vektor=0 eftersom w1=0 och w2 =0 så sätter vi dem lika och vi får w1x-w2x=0

X(w1-w2)=0

Du kan ju kalla komponenterna vad du vill, jag valde detta för att det var enklare än att kalla dem x1, x2, …, x5.

Noll x = 0 är en möjlighet, men långtifrån den enda. Du behöver hitta fullständig lösning till systemet.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan ju kalla komponenterna vad du vill, jag valde detta för att det var enklare än att kalla dem x1, x2, …, x5.

Noll x = 0 är en möjlighet, men långtifrån den enda. Du behöver hitta fullständig lösning till systemet.

Så jag behöver multiplicera x i vektorernas komponent och sedan lösa med gaus Jordan eller ej?

Ja du måste skalärmultiplicera x med basvektorerna för att få två ekvationer för de obekanta komponenterna a, b, c, d, e. Sedan löser du på valfritt sätt.

PATENTERAMERA skrev:
Ja du måste skalärmultiplicera x med basvektorerna för att få två ekvationer för de obekanta komponenterna a, b, c, d, e. Sedan löser du på valfritt sätt.

Hm det kanske är bättre att säga x1 x2 osv... Eftersom vi multiplicerar med med x så tror man att det man kan subtrahera tex 2x med 3x . Det låter som att x är vektor med a b c d e om jag förstår dig rätt ?

Smaksak, med papper och penna kanske det är enklare med xi, men det är jobbigt att skriva på dator.

Ja, x är en allmän vektor i R-fem. • är skalärprodukten. Så vi tar skalärprodukten mellan vektorer i R-fem.

PATENTERAMERA skrev:
Ja, x är en allmän vektor i R-fem. • är skalärprodukten. Så vi tar skalärprodukten mellan vektorer i R-fem.

Yes och x består av a b c d e komponenter right ? Då ska jag lösa uppgiften. Tack !!

Yepp.

PATENTERAMERA skrev:
Yepp.

Vad ska man göra efter att man fick ut en bas när man löst systemet? Nu har jag den och vinkelräta W som jag ej vet hur jag ska kombinera dem..

Du behöver inte kombinera. Den bas som du fick fram är en bas för $W^{⊥}$ . Sedan kan du använda Gram-Schmidt för göra om denna bas till en ON-bas, om den inte, mot förmodan, redan råkar vara en ON-bas.

PATENTERAMERA skrev:
Du behöver inte kombinera. Den bas som du fick fram är en bas för $W^{⊥}$ . Sedan kan du använda Gram-Schmidt för göra om denna bas till en ON-bas, om den inte, mot förmodan, redan råkar vara en ON-bas.

Fast notera att jag fick en bas till W vinkelrät och ej två st. Sen har vi ej använt vinkelräta W som fick ut i 5 uppgiften. Jag vet ej om det är tänkt att jag ska addera min bas med vinkelräta W om det är det du menar med Gram-Schmidt metoden?

Nja, när du hittat den allmänna lösningen till ekvationerna i #26 så har du bestämt det ortogonala komplementet till W, eftersom $W^{⊥}$ är lika med lösningsmängden till dessa ekvationer, enligt vad som sades i #18. Så om du bestämmer en bas för lösningsmängden så har du även bestämt en bas för $W^{⊥}$ . Sedan kan du tillämpa Gram-Schmidt på denna bas.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, när du hittat den allmänna lösningen till ekvationerna i #26 så har du bestämt det ortogonala komplementet till W, eftersom $W^{⊥}$ är lika med lösningsmängden till dessa ekvationer, enligt vad som sades i #18. Så om du bestämmer en bas för lösningsmängden så har du även bestämt en bas för $W^{⊥}$ . Sedan kan du tillämpa Gram-Schmidt på denna bas.

Jag fick en bas ja , hur menar du tillämpa gram Schmidt på denna bas ? Menar du 1/||wk||*wk?

Läs på om Gram-Schmidt i kursmaterialet eller på Wikipedia.