Bestäm en ny funktion
Föreningen vill göra en prognos över antalet medlemmar för de kommande åren. Efter att ha studerat medlemsantalet under de senaste åren. Ställer de upp modellen.
f(t)= 1250 e ^0,012 t
där f(t) är antalet medlemmar och t är tiden i år efter 1 januari 2010.
a) Bestäm vilket år föreningen har 2000 medlemmar enligt modellen.
Lösning: f(t)= 1250 e^0,012 t
2000= 12250 e^ 0,012 t
2000= 1250 . 0,012 e^t
2000=15 e^t
e^t =2000/15= 4,892 ungefär 5 alltså år 2015.
b) Bestäm hur snabbt antalet medlemmar ökar 1 januari 2030, enligt modellen.
Lösning: f(t)= 1250 e^0,012 t
f´(t)= (1250 e^0,012 t)/0,012 = 104166,7 e^0,012 t
f´(20)= 104166,7 . e^0,012 . 20= 132422
Antalet medlemmar ökar med hastigheten 132422 medlemmar /år
- Det finns en annan funktion som beskriver antalet medlemmar
g(t)= 1250 +16 t
Föreningen vill undersöka hur prognosen för antalet medlemmar beror av vilket modell de använder. De tänker därför undersöka skillnaden i antalet medlemmar mellan de båda modellerna med hjälp av en ny funktion.
c) Ställ upp den nya funktionen och använd den för att bestämma för vilket värde på t som skillnaden i antalet medlemmar är som störst i intervallet 0< eller lika med t < eller lika med 15
alltså t är större eller lika med noll och mindre eller lika med 15.
Lösning ?? Jag kunde inte lösa den här...
Har jag löst rätt i början också?
När du deriverar ska du multiplicera med inre derivatan. Du har dividerat.
Henrik Eriksson skrev :När du deriverar ska du multiplicera med inre derivatan. Du har dividerat.
Ja, tack.
Jag har inte märkt det.
Henrik Eriksson skrev :När du deriverar ska du multiplicera med inre derivatan. Du har dividerat.
Alltså b) ska vara
f´(t)=1250.0,012 e^0,012.t=15e^0,012.t
f´(20)=15.e^0,012 . 20=19
Antalet medlemmar ökar med hastigheten 19/år
Är det rätt?
Men hur kan jag börja med att lösa c uppgiften?
Du har skrivit konstiga saker, till exempel
2000= 1250 e^ 0,012 t
2000= 1250 . 0,012 e^t
Så kan man inte räkna. Logaritmera i stället.
Hur kan man göra i c - uppgiften? Jag tänker att jag vill ta de båda funktionerna minus varandra och sedan hitta ett maximivärde. Det finns dock inte ett sådant utan jag får fram att det största värdet i intervallet inträffar då x = 15 eftersom grafen är växande.
