Bestäm en lösning till ekvationen g’(t)=g”(t)

Prova att göra som du beskriver. Det finns nog ingen genväg.

Sätt $u=\frac{\pi(360-t)}{180}$

$\frac{dg}{dt}=\frac{dg}{du}\cdot \frac{du}{dt}$

$\frac{d^2g}{dt^2}=...$

Hej!

Ett sätt är att:

Om du förenkla $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }(360 -\mathrm{t})}{180}\right) = cos(2\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{t}}{180})$

med subtraktionsformeln med cos

$\cos (v-w)=\cos v\cdot \cos w+\sin v\cdot \sin w$

så får du $cos(-\frac{t}{180})$.

Detta går att förenkla vidare genom att $cos(-x) =cos\left(x\right)\hspace{0.17em}$

alltså $\cos (-\frac{t}{180}) =\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{t}{180}\right)$

Kanske detta hjälpa dig med deriveringen.

Om det är något du inte förstår så är det bara att fråga!

Tack så mycket för hjälpen. Nu ska jag se om jag kan klara detta.

tomast80, skulle du kunna förklara lite närmare, jag är inte så hemma på att uttrycka derivatan på det sättet.

TuananhNguyen skrev:

Hej!

Ett sätt är att:

Om du förenkla $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }(360 -\mathrm{t})}{180}\right) = cos(2\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{t}}{180})$

med subtraktionsformeln med cos

$\cos (v-w)=\cos v\cdot \cos w+\sin v\cdot \sin w$

så får du $cos(-\frac{t}{180})$.

Detta går att förenkla vidare genom att $cos(-x) =cos\left(x\right)\hspace{0.17em}$

alltså $\cos (-\frac{t}{180}) =\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{t}{180}\right)$

Kanske detta hjälpa dig med deriveringen.

Om det är något du inte förstår så är det bara att fråga!

Ett missat pi,

cos(pi*t/180)

Ska det vara

Ture skrev:

TuananhNguyen skrev:

Hej!

Ett sätt är att:

Om du förenkla $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }(360 -\mathrm{t})}{180}\right) = cos(2\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{t}}{180})$

med subtraktionsformeln med cos

$\cos (v-w)=\cos v\cdot \cos w+\sin v\cdot \sin w$

så får du $cos(-\frac{t}{180})$.

Detta går att förenkla vidare genom att $cos(-x) =cos\left(x\right)\hspace{0.17em}$

alltså $\cos (-\frac{t}{180}) =\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{t}{180}\right)$

Kanske detta hjälpa dig med deriveringen.

Om det är något du inte förstår så är det bara att fråga!

Ett missat pi,

cos(pi*t/180)

Ska det vara

Ja det stämmer att jag har missat ett PI.

Det ska vara $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }*\mathrm{t}}{180}\right)$.
Tack!

$g\text{'}\left(t\right)=\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45}$   och $g\text{'}\text{'}\left(t\right)=\frac{-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{4050}.$

Nu sätter jag dessa lika,

$\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45}=\frac{-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{4050}$

och sedan kunde jag kanske dela båda led med $-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}\right),$

för att få ett tangens-uttryck.

$\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45 · (-{\mathrm{\pi }}^2\cos (\frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}\left)\right)}=\frac{1}{4050}.$

Jag måste förstås förenkla VL för att få ett uttryck i tangens.

Är jag på rätt väg?

Kanelbullen skrev:

Tack så mycket för hjälpen. Nu ska jag se om jag kan klara detta.

tomast80, skulle du kunna förklara lite närmare, jag är inte så hemma på att uttrycka derivatan på det sättet.

Se här hur man uttrycker första och andraderivatan efter variabelbyte:

https://math.stackexchange.com/questions/1313764/changing-variable-in-a-second-derivative/1313785

Kanelbullen skrev:

$g\text{'}\left(t\right)=\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45}$   och $g\text{'}\text{'}\left(t\right)=\frac{-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{4050}.$

Nu sätter jag dessa lika,

$\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45}=\frac{-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{4050}$

och sedan kunde jag kanske dela båda led med $-{\mathrm{\pi }}^2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}\right),$

för att få ett tangens-uttryck.

$\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}}\right)}{45 · (-{\mathrm{\pi }}^2\cos (\frac{\mathrm{\pi }(360-\mathrm{t})}{180}\left)\right)}=\frac{1}{4050}.$

Jag måste förstås förenkla VL för att få ett uttryck i tangens.

Är jag på rätt väg?

Ja, du är på rätt väg. =) 

Jag löste uppgiften grafiskt i min räknare genom att sätta $g\text{'}\left(t\right)=g\text{'}\text{'}\left(t\right).$

$$\begin{gathered} -\frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi t}}{180}}\right)}{45}=-\frac{{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi t}}{180}}\right)}{4050} \\ \iff \frac{2\mathrm{\pi sin}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi t}}{180}}\right)}{45}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2\cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi t}}{180}}\right)}{4050} \end{gathered}$$

När jag slog in detta på räknaren fick jag

och vi ser att en lösning finns vid $x=1 eller 0,9998984...$

Andra lösningar är $x=181$och $x=361$, vilket är de andra två skärningarna mellan de båda kurvorna i bilden ovan. Dock visar räknaren decimaltal som ligger nära 1, 181 respektive 361.

Nu har jag försökt mig på att jobba med att få fram ett tangens-uttryck. Ni får gärna kommentera detta.

Nu har jag gjort ett försök att ta fram ett tangensuttryck och lösa uppgiften den vägen. Kommentera gärna detta. Har jag gjort rätt?

Kanelbullen skrev:

Nu har jag gjort ett försök att ta fram ett tangensuttryck och lösa uppgiften den vägen. Kommentera gärna detta. Har jag gjort rätt?

Hej!

Snyggt!
Uttrycket för tangens är korrekt och svaren går att verifiera så att det stämmer med din grafiska lösning ovan för n = 0,1,2..... , vilket det verkar göra.

Tack för responsen TuanhNguyen!