Bestäm en konstant a så att lim(x går mot 1) f(x) existerar

Ska det stå 1/x - 1, eller 1/(x-1)?

Det vi vill är väl att funktionsvärdena för de styckvisa funktionerna ska sammanfalla i $\displaystyle x=1$. Om de sammanfaller, alltså att gränsvärdena blir samma när $\displaystyle x\rightarrow 1$, då kommer gränsvärdet att existera.

Om vi börjar med att betrakta endast $\displaystyle \arctan(\frac{1}{x}-1)$ ser vi ganska snabbt att den närmar sig noll när $\displaystyle x\rightarrow 1$. Vi vill då alltså att vår andra del av funktionen också ska närma sig noll när $\displaystyle x\rightarrow 1$. Håller du med om att en funktion som är konstant noll närmar sig noll oavsett vad $x$ går mot? :). 

Således skulle svaret vara $a = 0$, skulle jag tro. 

Laguna skrev:

Ska det stå 1/x - 1, eller 1/(x-1)?

det ska stå 1/(x-1) blev ett slarvfel där

naytte skrev:

Det vi vill är väl att funktionsvärdena för de styckvisa funktionerna ska sammanfalla i $\displaystyle x=1$. Om de sammanfaller, alltså att gränsvärdena blir samma när $\displaystyle x\rightarrow 1$, då kommer gränsvärdet att existera.

Om vi börjar med att betrakta endast $\displaystyle \arctan(\frac{1}{x}-1)$ ser vi ganska snabbt att den närmar sig noll när $\displaystyle x\rightarrow 1$. Vi vill då alltså att vår andra del av funktionen också ska närma sig noll när $\displaystyle x\rightarrow 1$. Håller du med om att en funktion som är konstant noll närmar sig noll oavsett vad $x$ går mot? :). 

Således skulle svaret vara $a = 0$, skulle jag tro. 

Ja, jag håller med om att en funktion som är konstant noll, närmar sig noll oavsett vad x går emot.

Däremot är svaret på frågan: a=pi/3

Kan du ta ett foto av uppgiften, tack?

tomast80 skrev:

Kan du ta ett foto av uppgiften, tack?

Ja ha ojsan, det blev lite fel eftersom det stod fel i frågan.

$\displaystyle \arctan(\frac{1}{1-x}) \rightarrow \frac{\pi}{2}$ när $\displaystyle x \rightarrow 1$, inte noll. Vi vill alltså istället att funktionen med faktorn $a$ i ska ha vänstergränsvärdet, eller i detta fallet bara gränsvärdet, $\displaystyle \frac{\pi}{2}$, när vi närmar oss ett.

Om vi löser gränsvärdet ser vi att:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{3}{2}$. Då vet vi att en faktor a gånger detta ska bli $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. Då är det lätt att se att $\displaystyle a = \frac{\pi}{3}$.