Bestäm en g(x,y) s.a. differentialformen är exakt i R^2

Hej! Jag behöver få lite input på min lösning till följande uppgift.

Uppgiften lyder: Finns det någon icke-konstant funktion g(x,y) s.a. differentialformen g(x,y)*(x*dx + y*dx) är exakt i hela planet? Ange i så fall en sådan funktion g(x,y).

Jag löser den enligt följande.

Att differentialformen är exakt är ekvivalent med att kraftfältet $F = (P, Q) = (x g (x, y), y g (x, y))$ är konservativt i hela R^2. För att bestämma g(x,y) så utnyttjar jag att $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ och deriverar partiellt och det hela mynnar således ut i den partiella differentialekvationen $x \frac{\partial g}{\partial y} - y \frac{\partial g}{\partial x} = 0$ . Det blir alldeles för mycket att skriva här hur jag kommit fram till det, men jag hoppas det framgår någorlunda uppenbart. För att lösa denna så byter jag variabler enligt $\{\begin{cases} u = x^{2} + y^{2} \\ v = x^{2} - y^{2} \end{cases}$ och använder sedan kedjeregeln och uttrycker därmed $\frac{\partial g}{\partial x} = 2 x \frac{\partial g}{\partial u} + 2 x \frac{\partial g}{\partial v}$ och $\frac{\partial g}{\partial y} = 2 y \frac{\partial g}{\partial u} - 2 y \frac{\partial g}{\partial v}$ .

Differentialekvationen ovan återförs alltså på formen $- 4 y x \frac{\partial g}{\partial v} = 0$ .

Det är här som jag blir lite osäker.

Om vi inskränker oss till att både x och y är skilda från noll, så gäller ju att $\frac{\partial g}{\partial v} = 0 \Rightarrow g (u, v) = g (x, y) = ρ (u) = ρ (x^{2} + y^{2}) \in C^{1}$ , där rho(x^2+y^2) alltså är någon godtycklig C^1-funktion. Eftersom vi inte har några begynnelsevillkor så kan vi inte explicit beräkna rho. Däremot så efterfrågas ju en funktion g(x,y) som gör differentialformen/kraftfältet ovan konservativt. Därför kan jag (?) uttrycka mitt svar som $g (x, y) = ρ (x^{2} + y^{2}) \in C^{1}$ .

Är detta korrekt att uttrycka svaret som ngn godtycklig funktion på detta sätt? I facit så har de skrivit att t.ex. så fungerar $\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) = g (x, y)$ som svar. Är det mer naturligt att ha detta som svar? Hur har de kommit fram till just detta svar? Finns det någon ännu mer naturlig lösning än den jag presenterat ovan? Varför inte bara skriva $g (x, y) = ρ (x^{2} + y^{2}) \in C^{1}$ (rho godt. C^1-funktion) som svar?

Mitt största problem i denna lösning är dock att jag i ett steg faktiskt förutsätter att både x och y är skilda från noll. Denna inskränkning måste väl spela roll tänker jag? Om nu g(x,y) ska göra differentialformen konservativ på hela R^2 så borde det bli en inskränkning om jag antar att origo inte kan vara med i lösningsmängden??

Jag skulle vara mycket tacksam för lite vägledning.

Mvh!

Utan att titta noga på resten, men som svar på frågan om vad som händer längs koordinataxlarna: Det du såg var ju att givet att $x\neq0, y\neq0$ så måste $g(x,y)=\rho (x^2+y^2)$ . När någon av x och y är 0 så är ju ditt villkor uppfyllt för alla g. T.ex. $g(x,y)=\rho (x^2+y^2)$ . Alltså uppfyller ditt g villkoret på hela R²

Ett sätt att komma fram till konstanten 1/2 är att redan vid

$x \frac{\partial g}{\partial y} = y \frac{\partial g}{\partial x}$

se att en lösning skulle vara

$\frac{\partial g}{\partial y} = y, \frac{\partial g}{\partial x} = x$

och integrera upp g därifrån. Då slipper man hela steget via koordinattransformationen. Vi behövde ju bara hitta en lösning, inte alla.

Tack för svar! Riktigt smart att inse det som du skrev. Självklart kan man ju göra så. Men så om jag förstår dig rätt så menar du alltså att ifall x och y är noll så är ju såklart $F = (P, Q) = (x g (x, y), y g (x, y))$ uppfyllt för alla funktioner g(x,y). Det var det du menade?

För att förtydliga så är alltså min lösning lika korrekt som facits? Förutom att mitt svar är mer generellt (och i någon mening krångligare).

Hej!

Istället för att göra variabelbytet kan du göra såhär: Anta att funktionen $g(x,y)$ kan skrivas

$g(x,y) = f(x) \cdot h(y)$ över hela planet

och $g(x,y)$ är inte lika med noll någonstans. Då kan den partiella differentialekvationen skrivas

$xf(x)h'(y) = yh(y)f'(x)\ .$

Eftersom $fh \neq 0$ i hela planet så kan du dividera ekvationen med $fh$ för att få följande ekvation.

$\frac{(\log f)'}{x} = \frac{(\log h)'}{y}$ i hela planet.

Eftersom ekvationens vänstra led är en funktion av endast $x$ och ekvationens högra led är en funktion av endast $y$ så måste ekvationens båda led vara lika med en konstant ( $\lambda$ ). Det medför att

$f(x) = f_0 e^{0.5\lambda x^2}$ och $h(y) = h_0e^{0.5\lambda y^2}$

där $f_0$ och $h_0$ är nollskilda konstanter.

Resultat: Det finns icke-konstanta funktioner $g : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ sådana att differentialformen $xgdx + ygdy$ är exakt; till exempel

$g(x,y) = g_{0}e^{0.5\lambda(x^2+y^2)}$

där $\lambda$ och $g_{0}$ är konstanter som båda är nollskilda.

Albiki

Hej!

Med ditt föreslagna variabelbyte blir resultatet

$g(x,y) = \rho(x^2+y^2)$

för varje funktion $\rho : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ som är kontinuerligt deriverbar i alla punkter utom möjligen i $0.$ För att få en funktion som är definierad över hela planet så kan du skriva

$g(x,y) = \rho(x^2+y^2)$ när $(x,y) \neq (0,0)$

och

$g(x,y) =\rho(0)$ när $(x,y) = (0,0)$ ; förutsatt att $\rho(0)$ är definierat.

Albiki

Tack för svar!

Svara

Visa senaste svar