Bestäm en funktion

Nej. Du ska välja en funktion, så att arean under grafen är noll. Börja med att dela upp integralen i två stycken. En med gränser från -2 till 0, och den andra från 0 till två. Totalt ska dessa vara lika med noll. Vad kan du dra för slutsats? 

Smutstvätt skrev :

Nej. Du ska välja en funktion, så att arean under grafen är noll. Börja med att dela upp integralen i två stycken. En med gränser från -2 till 0, och den andra från 0 till två. Totalt ska dessa vara lika med noll. Vad kan du dra för slutsats? 

kan det vara -2x?

Du kan väl testa och se ifall det stämmer genom att beräkna

${\int }_{-2}^2(-2x)dx$

Teraeagle skrev :

Du kan väl testa och se ifall det stämmer genom att beräkna

${\int }_{-2}^2(-2x)dx$

okej såg att det inte stämde,

Rita upp din funktion y = -2x, hur stor är arean mellan funktionen och negativa x-axeln?

Hur stor är arean mellan funktionen och positiva x-axeln?

Är de lika stora?

Ture skrev :

Rita upp din funktion y = -2x, hur stor är arean mellan funktionen och negativa x-axeln?

Hur stor är arean mellan funktionen och positiva x-axeln?

Är de lika stora?

de är lika ser det ut som

Hej

Hur skulle det sätt ut om du beräkna integralen ${\int }_{-2}^2(-2x)dx$? 

Om vi också ställer oss frågan spelare det verkligen roll vilken typ av linjär funktion vi väljer?

Vi kan undersöka liter mer allmänt ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx=0$, vad kommer du fram till då?

jonis10 skrev :

Hej

Hur skulle det sätt ut om du beräkna integralen ${\int }_{-2}^2(-2x)dx$? 

Om vi också ställer oss frågan spelare det verkligen roll vilken typ av linjär funktion vi väljer?

Vi kan undersöka liter mer allmänt ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx=0$, vad kommer du fram till då?

får inte fram något som blir 0.,

Rita en figur. Det är alltid bra att rita en figur.

Rita en funktion så att den integral du söker blir noll. Integralen kan bli noll av två anledningar:

1) Arean mellan funkrionsgrafen och x-axeln blir noll.

2) Summan av arean över x-axeln minus arean under x-axeln blir noll.

Är du med så långt? Kan du rita?

lovisla03 skrev :

jonis10 skrev :

Hej

Hur skulle det sätt ut om du beräkna integralen ${\int }_{-2}^2(-2x)dx$? 

Om vi också ställer oss frågan spelare det verkligen roll vilken typ av linjär funktion vi väljer?

Vi kan undersöka liter mer allmänt ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx=0$, vad kommer du fram till då?

får inte fram något som blir 0.,

Det jag tror att jonis10 ville att du skulle göra var att beräkna värdet av integralen ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx$ som den står och sedan komma på vilket villkor som som måste gälla för konstanten m för att detta värde skulle bli lika med 0.

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

Visa föregående citat

jonis10 skrev :

Hej

Hur skulle det sätt ut om du beräkna integralen ${\int }_{-2}^2(-2x)dx$? 

Om vi också ställer oss frågan spelare det verkligen roll vilken typ av linjär funktion vi väljer?

Vi kan undersöka liter mer allmänt ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx=0$, vad kommer du fram till då?

får inte fram något som blir 0.,

Det jag tror att jonis10 ville att du skulle göra var att beräkna värdet av integralen ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx$ som den står och sedan komma på vilket villkor som som måste gälla för konstanten m för att detta värde skulle bli lika med 0.

hur då? Sätta 2x+m=0 och -2x+m=0?

Bubo skrev :

Rita en figur. Det är alltid bra att rita en figur.

Rita en funktion så att den integral du söker blir noll. Integralen kan bli noll av två anledningar:

1) Arean mellan funkrionsgrafen och x-axeln blir noll.

2) Summan av arean över x-axeln minus arean under x-axeln blir noll.

Är du med så långt? Kan du rita?

ritade några räta linjer men fick de inte till 0, ska testa några till

EDIT - misslyckad citering

lovisla03 skrev :

Yngve skrev :

Det jag tror att jonis10 ville att du skulle göra var att beräkna värdet av integralen ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx$ som den står och sedan komma på vilket villkor som som måste gälla för konstanten m för att detta värde skulle bli lika med 0.

hur då? Sätta 2x+m=0 och -2x+m=0?

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Det jag tror att jonis10 ville att du skulle göra var att beräkna värdet av integralen ${\int }_{-2}^2(kx+m)dx$ som den står och sedan komma på vilket villkor som som måste gälla för konstanten m för att detta värde skulle bli lika med 0.

hur då? Sätta 2x+m=0 och -2x+m=0?

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

$\left[kx^2/2+m^2/2\right]=0?$

lovisla03 skrev :

Yngve skrev :

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

$\left[kx^2/2+m^2/2\right]=0?$

Nej. Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) (dvs om F'(x) = f(x)) så är ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Eftersom $\frac{k{x}^2}{2}+mx$ är en primitiv funktion till $kx+m$ så är ${\int }_{\mathbf{-}\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\left(kx+m\right)dx=\left(\frac{k·{\mathbf{2}}^2}{2}+m·\mathbf{2}\right)-\left(\frac{k·(\mathbf{-}\mathbf{2}{)}^2}{2}+m·(\mathbf{-}\mathbf{2})\right)=$

$=\left(\frac{4k}{2}+2m\right)-\left(\frac{4k}{2}-2m\right)=4m$

Om nu detta värde ska vara lika med 0, vad måste då m vara?

-------

Här kan du läsa mer om primitiva funktioner och integraler.

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

$\left[kx^2/2+m^2/2\right]=0?$

Nej. Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) (dvs om F'(x) = f(x)) så är ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Eftersom $\frac{k{x}^2}{2}+mx$ är en primitiv funktion till $kx+m$ så är ${\int }_{\mathbf{-}\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\left(kx+m\right)dx=\left(\frac{k·{\mathbf{2}}^2}{2}+m·\mathbf{2}\right)-\left(\frac{k·(\mathbf{-}\mathbf{2}{)}^2}{2}+m·(\mathbf{-}\mathbf{2})\right)=$

$=\left(\frac{4k}{2}+2m\right)-\left(\frac{4k}{2}-2m\right)=4m$

Om nu detta värde ska vara lika med 0, vad måste då m vara?

-------

Här kan du läsa mer om primitiva funktioner och integraler.

juste då fattar jag. 0 väll eftersom  4*0=0

lovisla03 skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

lovisla03 skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

$\left[kx^2/2+m^2/2\right]=0?$

Nej. Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) (dvs om F'(x) = f(x)) så är ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Eftersom $\frac{k{x}^2}{2}+mx$ är en primitiv funktion till $kx+m$ så är ${\int }_{\mathbf{-}\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\left(kx+m\right)dx=\left(\frac{k·{\mathbf{2}}^2}{2}+m·\mathbf{2}\right)-\left(\frac{k·(\mathbf{-}\mathbf{2}{)}^2}{2}+m·(\mathbf{-}\mathbf{2})\right)=$

$=\left(\frac{4k}{2}+2m\right)-\left(\frac{4k}{2}-2m\right)=4m$

Om nu detta värde ska vara lika med 0, vad måste då m vara?

-------

Här kan du läsa mer om primitiva funktioner och integraler.

juste då fattar jag. 0 väll eftersom  4*0=0

Ja.

På samma sätt kan man visa att integralen av en godtycklig linjär funktion y = kx + m över ett godtyckligt symmetriskt intervall -a till a är lika med 0 endast om m = 0, dvs endast om funktionen är en proportionalitet y = kx.

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Nej. Har du lärt dig om integraler och hur man kan beräkna deras värde genom att ta fram en primitiv funktion?

$\left[kx^2/2+m^2/2\right]=0?$

Nej. Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) (dvs om F'(x) = f(x)) så är ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Eftersom $\frac{k{x}^2}{2}+mx$ är en primitiv funktion till $kx+m$ så är ${\int }_{\mathbf{-}\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\left(kx+m\right)dx=\left(\frac{k·{\mathbf{2}}^2}{2}+m·\mathbf{2}\right)-\left(\frac{k·(\mathbf{-}\mathbf{2}{)}^2}{2}+m·(\mathbf{-}\mathbf{2})\right)=$

$=\left(\frac{4k}{2}+2m\right)-\left(\frac{4k}{2}-2m\right)=4m$

Om nu detta värde ska vara lika med 0, vad måste då m vara?

-------

Här kan du läsa mer om primitiva funktioner och integraler.

juste då fattar jag. 0 väll eftersom  4*0=0

Ja.

På samma sätt kan man visa att integralen av en godtycklig linjär funktion y = kx + m över ett godtyckligt symmetriskt intervall -a till a är lika med 0 endast om m = 0, dvs endast om funktionen är en proportionalitet y = kx.

okej då e jag med tror jag. Alltså kan det vara tex både -2x och 2x eller 10x men behöver det vara en linjär funktion? går det med typ 2x^2?

lovisla03 skrev :

okej då e jag med tror jag. Alltså kan det vara tex både -2x och 2x eller 10x men behöver det vara en linjär funktion? går det med typ 2x^2?

Kul att du är nyfiken!

Det är en väldigt bra egenskap när man håller på med matematik.

Ja det gäller alla proportionaliteter y = kx, oavsett värdet på k.

Du undrar vad som händer med potensfunktioner av högre grad. Jag tycker det är ett utmärkt ämne för lite utforskande arbete.

Jag föreslår därför att du beräknar integralen av följande funktioner från x = -1 till x = 1:

1. $y=x^1$
2. $y=x^2$
3. $y=x^3$
4. $y=x^4$
5. $y=x^5$
6. $y=x^6$
7. $y=x^7$

Beräkningarna är alls inte svåra.

En del av dessa integraler kommer att ha värdet 0.

Vad är det som gäller för exponenten i de fallen?

Kan du dra någon slutsats?

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

okej då e jag med tror jag. Alltså kan det vara tex både -2x och 2x eller 10x men behöver det vara en linjär funktion? går det med typ 2x^2?

Kul att du är nyfiken!

Det är en väldigt bra egenskap när man håller på med matematik.

Ja det gäller alla proportionaliteter y = kx, oavsett värdet på k.

Du undrar vad som händer med potensfunktioner av högre grad. Jag tycker det är ett utmärkt ämne för lite utforskande arbete.

Jag föreslår därför att du beräknar integralen av följande funktioner från x = -1 till x = 1:

1. $y=x^1$
2. $y=x^2$
3. $y=x^3$
4. $y=x^4$
5. $y=x^5$
6. $y=x^6$
7. $y=x^7$

Beräkningarna är alls inte svåra.

En del av dessa integraler kommer att ha värdet 0.

Vad är det som gäller för exponenten i de fallen?

Kan du dra någon slutsats?

ja, när det är jämnt tal i exponenten blir det 0. tack för hjälpen nu förstår jag:)

ja, när det är jämnt tal i exponenten blir det 0. tack för hjälpen nu förstår jag:)

Nej, det kan du inte göra, eftersom det är tvärtom. Möjligen menar du att exponenten i den primitiva funktionen är jämn, men det är de udda potenserna som ger arean 0 när man integrerar dem över ett symmetriskt intervall.

lovisla03 skrev :

ja, när det är jämnt tal i exponenten blir det 0. tack för hjälpen nu förstår jag:)

Bra iakttagelse och slutsats, men det är tvärtom. När det är ett udda tal i exponenten blir integralen lika med 0. 

Dvs integralen (över ett symmetriskt intervall) av $y=x$, $y=x^3$, $y=x^5$ o.s.v. blir lika med 0.

Dessa kallas för udda funktioner och kännetecknas av att $f(-x)=-f(x)$ för alla $x$ i definitionsmängden.

Ett annat exempel på en udda funktion är $y=sin(x)$.

------

Du kanske tänker på att om den primitiva funktionen har jämn exponent så är integralen lika med 0. Och det stämmer eftersom en funktion med udda exponent har en primitiv funktion med jämn exponent.

Funktioner som $y=x^2$, $y=x^4$ o s.v. kallas flr jämna funktioner och kännetecknas av att $f(x)=f(-x)$ för alla $x$ i definitionsmängden.

Yngve skrev :

lovisla03 skrev :

ja, när det är jämnt tal i exponenten blir det 0. tack för hjälpen nu förstår jag:)

Bra iakttagelse och slutsats, men det är tvärtom. När det är ett udda tal i exponenten blir integralen lika med 0. 

Dvs integralen (över ett symmetriskt intervall) av $y=x$, $y=x^3$, $y=x^5$ o.s.v. blir lika med 0.

Dessa kallas för udda funktioner och kännetecknas av att $f(-x)=-f(x)$ för alla $x$ i definitionsmängden.

Ett annat exempel på en udda funktion är $y=sin(x)$.

------

Du kanske tänker på att om den primitiva funktionen har jämn exponent så är integralen lika med 0. Och det stämmer eftersom en funktion med udda exponent har en primitiv funktion med jämn exponent.

Funktioner som $y=x^2$, $y=x^4$ o s.v. kallas flr jämna funktioner och kännetecknas av att $f(x)=f(-x)$ för alla $x$ i definitionsmängden.

okej, ja jag syftade på den primitiva funktionen men då är jag med!