Bestäm en ekvation

Du ska derivera implicit, inte med avseende på x som du gjorde nu. Jag är övertygad om att det finns ett kapitel om det i vilken bok du nu än använder som kurslitteratur så kika på det, alternativt så kan du googla "implicit differentiation".

Om vi deriverar den första termen implicit så får vi (notera inre derivata för y)

$\frac{d}{dx} \left( x^2y^3 \right) = 2xy^3+x^2 3y^2y'$

Försök ta reda på vad resten av termerna blir och återkom :)

Likheten består om du deriverar båda led t.ex med avseende på x (m.a.p y går lika bra).  Du får använda produktregeln och kedjeregeln.  T.ex blir derivatan av

$x^2y^3$

i förenklad form

$(x^2y^3)' = 2x\cdot y^3 + x^2\cdot 3y^2\cdot y'$

Då HL deriverar till 0 så får du ett samband mellan y', x och y.

Det ser enklare ut att utgå ifrån x. Jag skulle tipsa att du vänder på allt, alltså att $y^2{x}^3-3y{x}^2-9x+9=0$ och att du istället letar efter punkten (1,0). Du slipper det implicita, och det borde ge samma svar.

Deriverar jag $3x{y}^2$får jag $3÷2x^2+3x*2y$

Tillsammans med den första termen blir det $2x*y^3+x^2*3y^2*y\text{'}-3÷2x^2*y^2+3x*2y$

Deriverar man $3xy^2$ enligt produktregeln får man inte det du skrev.

Derivatan av 3x blir 3, derivatan av y^2 blir 2y.

$3x*y^2$ med derivering av x blir väl $3y^2$ och av y blir 3x2y

Om jag deriverar de första två talen får jag väl $2x*y^3+x^2*3y´$ samt $3*y^2+3x*2Y$ och sätter jag ihop dom får jag $2x*y^3+x^2*3y^2*y´-3*y^2+3x*2y$

Svaret ska bli x+3y-3=0 vilket jag inte får fram.

Hej!

För att bestämma tangentens lutning (om den finns) så behöver du veta värdet på derivatan $y^\prime(x)$ när $x=0$. Kurvans ekvation talar (implicit) om för dig hur funktionen $y(x)$ ser ut, i den mån det överhuvudtaget rör sig om en funktion; tänk på att en funktion bara får ha ett y-värde för varje x-värde.

    $\displaystyle x^2(y(x))^3-3x(y(x))^2 -9y(x)+9=0\ .$

Kedjeregeln och Produktregeln talar om för dig att derivatan y^\prime(x) kan bestämmas av följande samband, som ska gälla för varje $x$ där funktionerna $y$ och $y^\prime$ är definierade.

    $\displaystyle 2x(y(x))^3+3x^2(y(x))^2y^\prime(x)-3(y(x))^2-6xy(x)y^\prime(x)-9y^\prime(x) = 0.$

Du är intresserad av talet $y^\prime(0)$ och du vet att $y(0) = 1.$ Om sambandet ovan även gäller för $x=0$ (vilket inte är säkert, eftersom du ännu inte vet om funktionen $y^\prime$ är definierad för $x=0$) så  får du följande resultat.

    $\displaystyle 2\cdot 0\cdot (y(0))^3+3\cdot 0^2\cdot (y(0))^2y^\prime(0)-3(y(0))^2-6\cdot0\cdot y(0)y^\prime(0)-9y^\prime(0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad y^\prime(0)=0.$

okej tack, jag hänger med på x=0 men hur går man vidare från det till att få fram svaret? där följer jag inte med.

så jag vet att y´(0) = 0

men hur kommer man från det till x+3y-3=0