Bestäm en bas för R^3 (Matematik/Universitet)

Spontant tänker jag att du kan diagonalisera den matris du tog fram i a).

Calle_K skrev:
Spontant tänker jag att du kan diagonalisera den matris du tog fram i a).

Vad betyder det att diagnolisera matrisen?

Menar du att jag ska gausa matrisen?

En linjär avbildnings matris relativt en bas är diagonal om och endast om alla vektorer i basen är egenvektorer till avbildningen. Diagonalelementen hos matrisen utgörs av de motsvarande egenvärdena.

För avbildningen T i vårt problem gäller det att alla (nollskilda)vektorer i planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Alla (nollskilda) vektorer som är ortogonala mot planet H är egenvektorer svarande mot egenvärde 0.

Så det borde inte vara så svårt att hitta en bas av egenvektorer i detta fall.

PATENTERAMERA skrev:
En linjär avbildnings matris relativt en bas är diagonal om och endast om alla vektorer i basen är egenvektorer till avbildningen. Diagonalelementen hos matrisen utgörs av de motsvarande egenvärdena.

För avbildningen T i vårt problem gäller det att alla (nollskilda)vektorer i planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Alla (nollskilda) vektorer som är ortogonala mot planet H är egenvektorer svarande mot egenvärde 0.

Så det borde inte vara så svårt att hitta en bas av egenvektorer i detta fall.

Hur vet du att egenvärdet är 1? Vilka är egenvektorer?

Jag håller på att gausa matrisen i 3a)

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
En linjär avbildnings matris relativt en bas är diagonal om och endast om alla vektorer i basen är egenvektorer till avbildningen. Diagonalelementen hos matrisen utgörs av de motsvarande egenvärdena.

För avbildningen T i vårt problem gäller det att alla (nollskilda)vektorer i planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Alla (nollskilda) vektorer som är ortogonala mot planet H är egenvektorer svarande mot egenvärde 0.

Så det borde inte vara så svårt att hitta en bas av egenvektorer i detta fall.

Hur vet du att egenvärdet är 1? Vilka är egenvektorer?

Vi vet att T(x) = x för alla x $\in$ H, eftersom T är ortogonal projektion på H. Så alla nollskilda vektorer i H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Vidare så är T(x) = 0 för alla vektorer x som är ortogonala mot H. Så alla nollskilda vektorer som är normaler till planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 0.

Du borde därför enkelt kunna hitta en bas av egenvektorer till T.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
En linjär avbildnings matris relativt en bas är diagonal om och endast om alla vektorer i basen är egenvektorer till avbildningen. Diagonalelementen hos matrisen utgörs av de motsvarande egenvärdena.

För avbildningen T i vårt problem gäller det att alla (nollskilda)vektorer i planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Alla (nollskilda) vektorer som är ortogonala mot planet H är egenvektorer svarande mot egenvärde 0.

Så det borde inte vara så svårt att hitta en bas av egenvektorer i detta fall.

Hur vet du att egenvärdet är 1? Vilka är egenvektorer?

Vi vet att T(x) = x för alla x $\in$ H, eftersom T är ortogonal projektion på H. Så alla nollskilda vektorer i H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Vidare så är T(x) = 0 för alla vektorer x som är ortogonala mot H. Så alla nollskilda vektorer som är normaler till planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 0.

Du borde därför enkelt kunna hitta en bas av egenvektorer till T.

Ja det är ju span ( 1 0 0 )

(1, 0, 0) ligger varken i H eller H^$⊥$. Vad menade du med detta?

PATENTERAMERA skrev:
(1, 0, 0) ligger varken i H eller H^$⊥$. Vad menade du med detta?

Du säger att jag ska hitta enkelt en Bas till matrisen givet i uppgiften och där var mitt försök. Då tror jag ej jag vet hur jag skall gå tillväga för att göra det och har missförstått. Det står helt still i skallen på mig.

Du behöver hitta en bas för R³ där alla vektorer i basen är egenvektorer till T.

Du behöver först hitta två linjärt oberoende vektorer i H. De är då egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Sedan kan du välja en normalvektor till planet H. Det blir en tredje basvektor, vilket dessutom är en egenvektor till T svarande mot egenvärde 0.

Klarar du detta?

PATENTERAMERA skrev:
Du behöver hitta en bas för R³ där alla vektorer i basen är egenvektorer till T.

Du behöver först hitta två linjärt oberoende vektorer i H. De är då egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Sedan kan du välja en normalvektor till planet H. Det blir en tredje basvektor, vilket dessutom är en egenvektor till T svarande mot egenvärde 0.

Klarar du detta?

Nej för jag ser ej hur du får att egenvärde är 1 och 0 ?

Se #9.

PATENTERAMERA skrev:
Se #9.

Aa jag förstod ej ditt resonemang där. Men om jag gissar rätt så syftar du på det här matrisen som jag fick i a uppgiften. Dennes egenvärde är 1 2 gånger (dubbelrot) och 0. Det betyder att matrisen kan gausas för att vi ska få egenvektorer?

Läs på om ortogonala projektioner i lärobok och läs min kommentar igen. Då tror jag poletten kommer trilla ner.

PATENTERAMERA skrev:
Läs på om ortogonala projektioner i lärobok och läs min kommentar igen. Då tror jag poletten kommer trilla ner.

Har sålt bort kursboken. Men tack ändå.

PATENTERAMERA skrev:
destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
En linjär avbildnings matris relativt en bas är diagonal om och endast om alla vektorer i basen är egenvektorer till avbildningen. Diagonalelementen hos matrisen utgörs av de motsvarande egenvärdena.

För avbildningen T i vårt problem gäller det att alla (nollskilda)vektorer i planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Alla (nollskilda) vektorer som är ortogonala mot planet H är egenvektorer svarande mot egenvärde 0.

Så det borde inte vara så svårt att hitta en bas av egenvektorer i detta fall.

Hur vet du att egenvärdet är 1? Vilka är egenvektorer?

Vi vet att T(x) = x för alla x $\in$ H, eftersom T är ortogonal projektion på H. Så alla nollskilda vektorer i H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 1. Vidare så är T(x) = 0 för alla vektorer x som är ortogonala mot H. Så alla nollskilda vektorer som är normaler till planet H är egenvektorer till T svarande mot egenvärde 0.

Du borde därför enkelt kunna hitta en bas av egenvektorer till T.

I uppgiften ser vi att vi har ettor på diagonalen i matrisen. Då har vi 3 egenvärde , 1 , 1 och 0. Då behöver vi bara hitta egenvektorer?

Det gäller generellt för projektioner att de har precis 1 och 0 som egenvärden.

Du kan utgå från din matris i a), som vi kan kalla A, (dubbelkolla först att den verkligen är rätt) och använda att vi vet egenvärdena. Dvs hitta lösningar till

Ax = 0 (ger egenvektorer svarande mot egenvärde 0)

och

(A - I)x = 0 (ger egenvektorer svarande mot egenvärde 1).

Tillägg: 8 apr 2023 20:52

Första elementet i din matris A skall nog vara 8/9 och inte -8/9.

Menar du så?

Ja, du kan kolla att den är rätt, tex så skall det gälla att

A $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

A $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$

PATENTERAMERA skrev:
Ja, du kan kolla att den är rätt, tex så skall det gälla att

A $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

A $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}]$

Jag får justnu detta. Jag vet ej var du får (2,-1,0) ifrån?

Yes nu fick jag så.

Jag får dessutom egenvektorn t( 1,2 2)

Om du med egna ord skulle förklara vad du gjort i din lösning, hur skulle du förklara då?

Bra, $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$ är en egenvektor med egenvärde 0.

Sedan behöver du två egenvektorer med egenvärde 1.

Lös (A-I)x = 0 på liknande sätt.

D4NIEL skrev:
Om du med egna ord skulle förklara vad du gjort i din lösning, hur skulle du förklara då?

Jag har hittat egenvektorer till matrisen A från a)

PATENTERAMERA skrev:
Bra, $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]$ är en egenvektor med egenvärde 0.

Sedan behöver du två egenvektorer med egenvärde 1.

Lös (A-I)x = 0 på liknande sätt.

Ok då får jag s(-2,1,0)+t(-2,0,1)

Ja, det verkar rätt. Du kan dubbelkolla genom att se om det gäller att

A $[\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$ och A $[\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Så då har du hittat en bas av egenvektorer.

Om du väljer egenvektorerna med egenvärde 1 som första och andra basvektor och egenvektorn med egenvärde 0 som tredje basvektor så blir T:s matris relativt denna bas den sökta diagonalmatrisen. Så nu är b) löst.