Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{x(1+{\tan }^{2}x)-\tan x}{x^2} \\ {y}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\frac{\mathrm{\pi }}{4}(1+{\tan }^2(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left)\right)-\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}{(\frac{\mathrm{\pi }}{4}{)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-1}{(\frac{\mathrm{\pi }}{4}{)}^2}=0,925=k \\ y-\frac{4}{\mathrm{\pi }}=0,925(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}) \\ y=0,925x+0,546 \end{gathered}$$

Hej!

Funktionens derivata är lika med funktionen

    $\displaystyle y'(x) = \frac{x(1+\tan^2 x)-\tan x}{x^2}$

och dess värde i punkten $x = \frac{\pi}{4}$ är lika med talet

    $\displaystyle y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{16}{\pi^2}(\frac{\pi}{4}(1+1^2)-1) = \frac{16}{\pi^2}(\frac{\pi}{2}-1).$

Tangentens ekvation är därför

    $\displaystyle y(x) - \frac{4}{\pi} = y'(\frac{\pi}{4})\cdot (x-\frac{\pi}{4}).$

som även kan skrivas

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

alireza6231 skrev :

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{x(1+{\tan }^{2}x)-\tan x}{x^2} \\ {y}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\frac{\mathrm{\pi }}{4}(1+{\tan }^2(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left)\right)-\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}{(\frac{\mathrm{\pi }}{4}{)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-1}{(\frac{\mathrm{\pi }}{4}{)}^2}=0,925=k \\ y-\frac{4}{\mathrm{\pi }}=0,925(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}) \\ y=0,925x+0,546 \end{gathered}$$

Ni två har helt rätt, att jag behandlade subtraktionen före multiplikationen var misstaget jag gjorde.

Men svaret på facit är också fel.

Tack för hjälpen.

Alternativ lösning:

$y\cdot x = \tan x$

$\frac{d}{dx}(y\cdot x) = \frac{d}{dx}(\tan x)$

$y'\cdot x+y=\frac{1}{\cos^2x}$

$y'\cdot \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi} = 2$

$y' = k = (2-\frac{\pi}{4})\cdot \frac{4}{\pi}$

$y-y_1=k(x-x_1)$

...

Vände på kvoten vid beräkningen av $k$.

tomast80 skrev :

Alternativ lösning:

$y\cdot x = \tan x$

$\frac{d}{dx}(y\cdot x) = \frac{d}{dx}(\tan x)$

$y'\cdot x+y=\frac{1}{\cos^2x}$

$y'\cdot \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi} = 2$

$y' = k = (2-\frac{\pi}{4})\cdot \frac{4}{\pi}$

$y-y_1=k(x-x_1)$

...

Tack för att du visade det alternativet tomast80.