Bestäm ekvationen för funktionen

Inte ett dugg rörigt, A och B har du fått helt rätt. När det kommer till perioden så är den som du skriver 4*PI. Tänk dig då att kx ska gå ett varv (2*pi) när x är 4*pi, dvs 2*pi = k*4pi -> k=1/2.

Sen kommer det knepiga. Stoppar du in k=1/2 i ekvationen får du cos(3pi/2+v) = 1/2. Om du ritar upp enhetscirkeln och lägger in 3pi/2 (270°) och drar det vertikala strecket för cosinusvärdet (x-axeln) = 1/2  så ser du att du har två vinklar som uppfyller villkoret, pi/6 och 5pi/6. Där behövs ett vilkor till för att avgöra vilken av vinklarna som är rätt. Du kan gissa i figuren att det måste va pi/6 men ett sätt att resonera sig fram till det är att notera att derivatan i punkten du använder (x,y)=(3pi,0) är positiv. Om du deriverar din funktion så får du en kA*-sin(kx+v) och ska den derivatan bli positiv så måste sinusvärdet för vinkeln vara negativt, dvs y-värdet för vinkeln är negativt.

Jag hoppas inte min förklaring var rörig, fråga igen om det är något du undrar över.

Är det rätt?

Nej, det är rätt fram till

1/2=cos(3pi/2+v)

Här måste man vara försiktig. 1/2 gör att vinkeln är något med pi/3 (du skriver pi/6 men det är också fel).
MEN:
Titta i enhetscirkeln. Var är cos(v)=1/2 och ÖKANDE. Grafen går ju uppåt i punkten vi undersöker så vi vill ha en vinkel där cos(v) ökar när v ökar.
När vinkeln ökar från pi/3 ä ju cos MINSKANDE (titta i enhetscirkeln).
Men du ser i enhetscirkeln att när vinkel ökar från -pi/3 är cos ÖKANDE. Som vi vill ha. Alltså får du:
-pi/3=3pi/2+v

Om det inte känns glasklart upprepar du stegen jag just beskrev i enhetscirkeln tills det är klart.

Jag förstår inte hur jag ska se ”när cos(x)=1/2” är ökande 

Programmeraren skrev:

Nej, det är rätt fram till

1/2=cos(3pi/2+v)

Här måste man vara försiktig. 1/2 gör att vinkeln är något med pi/3 (du skriver pi/6 men det är också fel).
MEN:
Titta i enhetscirkeln. Var är cos(v)=1/2 och ÖKANDE. Grafen går ju uppåt i punkten vi undersöker så vi vill ha en vinkel där cos(v) ökar när v ökar.
När vinkeln ökar från pi/3 ä ju cos MINSKANDE (titta i enhetscirkeln).
Men du ser i enhetscirkeln att när vinkel ökar från -pi/3 är cos ÖKANDE. Som vi vill ha. Alltså får du:
-pi/3=3pi/2+v

Om det inte känns glasklart upprepar du stegen jag just beskrev i enhetscirkeln tills det är klart.

Jag förstår inte heller vad för fel jag gjorde i min uträkning 

Din bild på enhetscirkeln visar 1/2 på y-axeln. Där finns sin. Cos är på x-axeln.
Rita in cos(v)=0,5 i enhetscirkeln, dvs x=0,5. Det är en linje som skär x-axeln där x=0,5

Då ser du två vinklar som har det värdet. pi/3 och -pi/3. Rita och posta.

Nej.
Dra linjen x=0,5
Markera de två (2) vinklar som har cos(v)=0,5

Jag förstår inte vad du menar med ”dra linjen” hur ska jag dra linjen ?

x=0,5 är en linje som innehåller alla punkter där x=0,5. Dvs en vertikal linje.

Jag är inte säker på att du ve hur du använder enhetscirkeln. Det är ett verktyg man måste kunna, annars blir såna här uppgifter svårlösta.

Bra.

Rita in de 2 vinklarna där cos(v)=0,5

Är osäker på om det ska vara så här 

Vinklarna är 30 grader och 330 grader

Nästan så du får rita om. Vinklarna ska ju träffa skärningen mellan linjen och cirkeln, den övre vinkeln är nåt annat.

Och de är inte 30 och 330

Eftersom talet är i radianer, använd det.

Vinklarna ska vara pi/6 och 5.75 rad

5,75 är vinkelan avrundad, avrunda inte.

Vinklarna är v1=pi/3 och v2-=pi/3

Om du ställer dig i v1 och ökar vinkeln något, kommer då cos(v) att öka eller minska?

Cos(v) kommer att minska och gå på väg mot att bli negativ 

Bra

Om du ställer dig i v2 och ökar vinkeln något, kommer då cos(v) att öka eller minska?

Om jag ökar cos(v) då kommer x också att öka 

Inte säker på vad du menar. Frågan var:

Om du ställer dig i v2 och ökar vinkeln något, kommer då cos(v) att öka eller minska?
Men kanske det du menade, ökar är rätt svar (Ökar = blir större = blir mindre negativ)

ok?

Du valde punken 3pi i grafen som i grunden är en cos-funktion. Ökar eller minskar funktionen i punkten 3pi?

Programmeraren skrev:

Inte säker på vad du menar. Frågan var:

Om du ställer dig i v2 och ökar vinkeln något, kommer då cos(v) att öka eller minska?
Men kanske det du menade, ökar är rätt svar (Ökar = blir större = blir mindre negativ)

ok?

Ja precis jag menar att cos(x) skulle öka 

Programmeraren skrev:

Du valde punken 3pi i grafen som i grunden är en cos-funktion. Ökar eller minskar funktionen i punkten 3pi?

Hur ska jag kunna se detta mha enhetscirkeln?

Det ska du se i grafen i uppgiften.

När x=3pi så ökar cosinus värdet . Men vad kan jag ha till nytta av att veta den här informationen?

Den är avgörande för att du ska veta om det pi/3 eller -pi/3 som är rätt vinkel. Vilken är det?

Du fick fram pi/3 från arccos(1/2). Men cos(-pi/3) är också 1/2. Du har två vinklar att välja bland. 

Om man väljer en maxpunkt uppstår inte problemet eftersom det bara finns 1 vinkel där cos() är max.
Alla y-värden förutom maxpunken och minpunkten har ju två vinklar som lösning.
Nu tog du 3pi eftersom det var den som var enklast att läsa av, maxpunkten är svår att de vinkeln för i figuren så det var ett bra val.
Men man får problemet med att lista ut vilken av de 2 vinklarna det är.

Jag förstår inte varför det är fel att vara anta att x=pi/3 och sätta in y=0 i funktionen? 

om vi testar med 6,5piså vet vi att cos(0)=1 

alltså 0.5 * x +v =0 

När x= 6.5pi är y= 0

då kan man lösa ut v

0.5*6.5+v =0 

v=-3.25 rad

Avrunda inte. Använd bråk och pi. Alltid.

Du har blandat ihop det nu. Nu pratar du om x=pi/3 men det är inte den punkten du valde. Du valde x=3pi.
Det funkar inte att räkna 8 tal parallellt. Du tappar tråden.

Nu MÅSTE du gå tillbaka ditt inlägg #3 och gå igenom allt fram till raden

Det är rätt fram dit. Sen är det fel (du skriver sen pi/6 men det är slarv, du menar pi/3 men det är alltså fel också men av andra skäl)

Fortsätt inte med någonting förrän du är 100% med på varför du kom dit.

Efter det kommer:

arccos(1/2) har två lösningar. pi/3 och -pi/3. Du kan inte bara anta att pi/3 är korrekt (den är dessutom fel).

Den allra första raden är bortstruken 

Det blir enklare om man kan läsa av en maxpunkt eftersom man slipper problemet att välja mellan två vinklar då man gör arccos.

Men jag skulle inte våga läsa av att max finns vid 7,5pi/2, alldeles för otydligt. Därför var ditt val av x=3pi bra
Men då måste man som sagt vara försiktig när man väljer vinkel.
MEN: Du kan också göra båda lösningarna, alltså pi/3 och -pi/3, och sen kontrollera vilken av det två v du får fram är rätt.

Jag förstår fortfarande inte varför man inte bara kan sätta in x=3pi och y=0  och sen lösa ut v 

Det går bra. Med du får två lösningar. Och du måste ta reda på vilken som är rätt. Det är bara om du väljer en max- eller minpunkt som du får en lösning och i detta fall går de inte att läsa av vinkeln för.

Det här är vad jag kommer fram till . V1=pi och V2=2pi .. Hur ska jag veta vilken som är rätt?

arccos(v)=1/2 har lösningarna pi/3 och -pi/3.
Du ritade det i enhetscirkeln tidigare.

Okej nu lyckades jag lösa uppgiften. 
Jag undrar hur man ska tänka när det kommer till att utesluta en av de lösningar? Visst kan man förklara detta med hjälp av en enhetscirkel . Vinkeln pi/6 är mindre än vinkeln 5pi/6 . Vi vet att förskjutningen är inte särkilt stor åt vänster (för det är positivt). Därför borde den minsta vinkeln vara svaret dvs pi/6=v

Det ser bra ut och man kan resonera som du gjort för att bestämma vilken av lösningarna som ger den ursprungliga grafen. Förskjutningen är dock åt höger men i övrigt är ditt resonemang  korrekt.

Rita ut båda graferna så blir det ännu tydligare.

De båda lösningarna ger f(3pi)=0 och det som skiljer dem åt är att för v=pi/6 sluttar funktionen uppåt, dvs derivatan är positiv. För v=5pi/6 är derivatan negativ. Som jag skrev i #2 så kan du derivera funktionen och får då

$f\text{'}\left(x\right) = -\sin (\frac{x}{2}+v)$

I din figur i #16 ser du att de två lösningarna för vinkeln (3pi/2+v) har har samma cosinus-värden men olika sinus-värden (värdet på y-axeln). Sinusvärdet för (3pi/2+pi/6) är negativt och sinusvärdet för 3pi/2+5pi/6 är positivt.

För att derivatan, $f\text{'}\left(x\right)$ ovan, ska kunna bli positiv i x=3pi så måste sinusvärdet vara negativt, dvs då har du visat att pi/6 som ger ett negativt sinusvärde är den rätta lösningen.

Hur vet man att Förskjutningen är åt höger? Det ska ju vara +pi/6 , vilket är ett positivt tal och när det är ”+” så är förskjutningen åt vänster?

Jag tänker såhär: Om du har kurvan cos(kx+v) och du sätter v=0 så passerar kurvan origo för kx=0, dvs x=0. Lägger du till ett positivt v så flyttas vinkeln mot en större vinkel, dvs ett större värde på x-axeln, dvs åt höger som jag ser det. Det är inte så viktigt, huvudsaken är att man vet vad man menar själv och drar sina slutsater från det.