bestäm ekvationen för ett plan (linjär algebra)

Ta en vektor i planet. Den kan du ta som normalvektor till det andra planet som är vinkelrätt mot det givna planet. 

När du säger "respektive plans vektorer vara ortogonala" -- tänker du på att deras normal-vektorer är ortogonala då? Det är ju sant -- men vissa av vektorerna i planet är ortogonala, andra inte -- tänkt på att planen skär varandra i en linje, och den linjen ligger i båda planen, så vektorer "på" den linjen är ju uppenbarligen inte ortogonala. Om du har en normalvektor till andra planet -- fixat du att ställa upp en ekvation då?

Du har naturligtvis viss frihet att välja din andra normal, och den kan t.ex ligga i det första planet -- kanske rent av måste den det?

PeBo skrev:

När du säger "respektive plans vektorer vara ortogonala" -- tänker du på att deras normal-vektorer är ortogonala då? Det är ju sant -- men vissa av vektorerna i planet är ortogonala, andra inte -- tänkt på att planen skär varandra i en linje, och den linjen ligger i båda planen, så vektorer "på" den linjen är ju uppenbarligen inte ortogonala. Om du har en normalvektor till andra planet -- fixat du att ställa upp en ekvation då?

Du har naturligtvis viss frihet att välja din andra normal, och den kan t.ex ligga i det första planet -- kanske rent av måste den det?

Visa spoiler

skalärprodukten mellan varje vektor i andra planet och normalen till andra planet är noll.

om jag har normalvektorn på den andra planet så har jag ju automatiskt ekvationen?

kan jag ställa upp n1 * n2 = 0 

n1 = normalen för det givna planet = (2, 1, 1) och n2 normal för andra planet och hitta på en normal som löser ekvationen

tex (2, 1, 1) * (0, 1, 1) = 0

så får jag ekvationen för sökta planet via den "påhittade" normalen n2 som då blir y + z = 0 ?

(med * menar jag skalärt)

kan man göra så? hur vet man att det är rätt?

Två kända vektorer (normerna till de två planen) ger ju ingen ekvation på det viset, det blir ju redan noll per konstruktion. Tänk istället att du gissar en vektor i det andra planet, hur testar du att den ligger i planet? Om du har normen till det andra planet så är ju villkoret på vektorer i planet att skalärprodukten med normalvektorn är noll. Läs den sista meningen igen och tänk efter, sen kan du lätt skriva ekvationen.

Läs också igenom uppgiften igen - just ortogonaliteten gör att du hittar normalvektorn till det andra planet på ett lite speciellt ställe.

PeBo skrev:

Två kända vektorer (normerna till de två planen) ger ju ingen ekvation på det viset, det blir ju redan noll per konstruktion. Tänk istället att du gissar en vektor i det andra planet, hur testar du att den ligger i planet? Om du har normen till det andra planet så är ju villkoret på vektorer i planet att skalärprodukten med normalvektorn är noll. Läs den sista meningen igen och tänk efter, sen kan du lätt skriva ekvationen.

nä aså jag förstår verkligen inte vad det är jag ska göra. gissa en vektor i det andra planet? hur ska jag ens göra det? att skalärprodukten ska bli noll har jag ju redan försökt i tidigare inlägg men det var ju fel så dessvärre ingen aning hur jag går vidare med denna uppgift

Jag tror det är bra om du svarar på den här så vi inte pratar förbi varandra: "När du säger "respektive plans vektorer vara ortogonala" -- tänker du på att deras normal-vektorer är ortogonala då?".

Men, Dr G har redan löst uppgiften åt dig -- det är precis så enkelt som hen beskriver. Om det inte klickar omedelbart från den beskrivningen så är det något begreppsmässigt som kan lösa upp knuten för dig.

Prova svara på följande påståenden genom att berätta om du förstår dessa:

1. Ett plan A1 har en normalvektor n1 som definierar planet
2. Normalvektorn n1 ligger inte i planet utan är vinkelrät mot planet.
3. Varje vektor i planet A1 är ortogonal mot planets normalvektor n1.
4. Man kan testa ortogonalitet genom att se om skalärprodukten mellan två vektorer v1 och v2 är noll (v1*v2 = 0)
5. Om du har en punkt P1 i planet A1 och normalvektorn n1 så ligger de punkter p för vilka skalärprodukten (p - P)*n är noll i planet.
6. Du kan skriva p som (x,y,z) och ekvationen från 5) är planets ekvation
7. Om du ska ha ett plan som är vinkelrätt mot ett annat plan så måste deras normalvektorer vara vinkelräta (ortogonala)
8. Ditt plan som är givet går genom origo, dvs punkten (x,y,z) = (0,0,0) är en lösning till planets ekvation, du kan alltså använda origo som P1.
9. Det andra vinkelräta planet A2 måste ha en normalvektor n2 som ligger i det första planet A1. Se även Dr. G:s första inlägg.
10. (Jag är liksom tvungen att fråga...) Har du koll på skalärprodukter? Du har skrivit "hitta på en normal som löser ekvationen tex (2, 1, 1) * (0, 1, 1) = 0" -- Du kan ha missat ett minustecken nånstans, men 2*0 + 1*1 + 1*1 = 2.
11. Även om det inte behövs för uppgiften -- kan du konstruera en normal till det givna planet?

Lessen om det känns som om jag bara öser skräp över dig, men det blir enklare om jag kan förstå var den här uppgiften går från att vara rätt enkel till att bli lite svår att få tag i. Uppgiften är ganska enkel, men den testar ens förståelse av begrepp runt vad som ligger i planet och hur man konstruerar ekvationen för dessa punkter och vilken roll normalvektorn spelar.

PeBo skrev:

Jag tror det är bra om du svarar på den här så vi inte pratar förbi varandra: "När du säger "respektive plans vektorer vara ortogonala" -- tänker du på att deras normal-vektorer är ortogonala då?".

Men, Dr G har redan löst uppgiften åt dig -- det är precis så enkelt som hen beskriver. Om det inte klickar omedelbart från den beskrivningen så är det något begreppsmässigt som kan lösa upp knuten för dig.

Prova svara på följande påståenden genom att berätta om du förstår dessa:

1. Ett plan A1 har en normalvektor n1 som definierar planet
2. Normalvektorn n1 ligger inte i planet utan är vinkelrät mot planet.
3. Varje vektor i planet A1 är ortogonal mot planets normalvektor n1.
4. Man kan testa ortogonalitet genom att se om skalärprodukten mellan två vektorer v1 och v2 är noll (v1*v2 = 0)
5. Om du har en punkt P1 i planet A1 och normalvektorn n1 så ligger de punkter p för vilka skalärprodukten (p - P)*n är noll i planet.
6. Du kan skriva p som (x,y,z) och ekvationen från 5) är planets ekvation
7. Om du ska ha ett plan som är vinkelrätt mot ett annat plan så måste deras normalvektorer vara vinkelräta (ortogonala)
8. Ditt plan som är givet går genom origo, dvs punkten (x,y,z) = (0,0,0) är en lösning till planets ekvation, du kan alltså använda origo som P1.
9. Det andra vinkelräta planet A2 måste ha en normalvektor n2 som ligger i det första planet A1. Se även Dr. G:s första inlägg.
10. (Jag är liksom tvungen att fråga...) Har du koll på skalärprodukter? Du har skrivit "hitta på en normal som löser ekvationen tex (2, 1, 1) * (0, 1, 1) = 0" -- Du kan ha missat ett minustecken nånstans, men 2*0 + 1*1 + 1*1 = 2.
11. Även om det inte behövs för uppgiften -- kan du konstruera en normal till det givna planet?

Lessen om det känns som om jag bara öser skräp över dig, men det blir enklare om jag kan förstå var den här uppgiften går från att vara rätt enkel till att bli lite svår att få tag i. Uppgiften är ganska enkel, men den testar ens förståelse av begrepp runt vad som ligger i planet och hur man konstruerar ekvationen för dessa punkter och vilken roll normalvektorn spelar.

det glädjer mig att du öser skräp över mig, det blir som ett prov åt mig själv.

1. jag förstår

2. någon del av normaln borde väl ligga i planet eftersom att den även går åt andra håller och i så fall igenom?

3. jag förstår

4. jag förstår

5. har läst denna mening högt 10 gånger men det låter mer som en gåta en som en självklarhet, vad är det frågan om här? att en vektor i planet A1 skalärt med dens normalvektor är 0? om ja så då förstår jag

6. om ja på 5an så ja

7. jag är med på det

8.  okej vad ska jag göra med p1?

9. måste det ligga där eller kan en av planets normaler ligga där? för en normal kan väl vara parallell med det andra planet men inte ligga i det planet?

10. jag tror jag har koll

11. n1 = (1, 2, 2)

så man kan lösa denna uppgift genom att man väljer ut två punkter i det andra planet och gör en vektor av det som blir normalen som ger mig ekvationen för det andra planet?

2) Tänk på normalen som något som har en riktning -- det är den enda egenskap den har. Även om det känns som att den är en linje som kan gå genom planet (de kan t.ex skära varandra i punkten (0,0,0)). Poängen är att om du följer någon riktning i planet så kommer du ingenstans i normalens riktning och vice versa. Tänk planet som beskrivs av z=1 -- dvs alla värden på x, y och värdet 1 för z. Det planet har (0,0,1) som normal. Det spelar ingen roll hur många steg du tar i z-riktningen, du kommer ingen vart i x- eller y- riktning för det, och du kan gå hur långt som helst i x eller y-riktning, du kommer ingen vart i z-riktning för det.

Jag inser att det finns ett intressant glapp här mellan hur plan beter sig (som är bestämda punktmängder som finns på en plats) och vektorer som bara har riktning och ingen position. Vektorn som man konstruerar mellan punkterna från (0,0,1) till (0,0,2) är samma vektor som man skapar mellan punkterna (0,0,14) till (0,0,15), nämligen (0,0,1). Men den har bara en riktning; den finns inte på någon speciellt plats. Man brukar rita vektorer lite mer konkret än de förtjänar.

5) Jag önskar jag kunde editera den där, men jag kan inte det längre -- det ska vara (p - P1)*n1 . Rita för din inre blick en punkt p i planet och punkten P1 som också ligger i planet -- "pilen" mellan dessa är en vektor i planet, och sen vektorn n1 som du kan sätta på planet lite var som helst -- det är bara riktningen som spelar roll. Vinkelrätheten påverkas inte av att du flyttar n1. Att vektorn i planet och normalvektorn är ortogonala är villkoret för att punkten p ligger i planet -- du kan formulera en ekvation från det villkoret.

9) Riktningen ligger i (tänk parallell med) planet -- plan är också oändligt stora -- de har inget slut. Att den ligger i planet och är parallell med planet är samma sak -- om du kan parallell-förflytta "pilen" och jämföra dom och se att dom har samma riktning så är det samma vektor.

Ja, lösningen är att normalen till det andra planet ligger i (eller är parallell med) det första planet.

Take-away från det här -- plan är konkreta punktmängder som uppfyller planets ekvation, och de är oändliga; två plan kan vara parallella och aldrig skära varandra, men de är inte samma plan. Vektorer har bara riktning, och vektorer som har samma riktning och storlek är samma, de är inte små streck som sitter i en punkt, utan riktningar med storlek.

tack alla för era svar, förklaringar och tålamod men det är okej nu för denna uppgift, jag har valt att lämna den åt sidan och gå vidare med livet eftersom att jag fortfarande inte förstår. jag förstår vad du skriver men förstår inte hur jag ska tillämpa det i denna uppgift, blir snurrig av allting. Den tar för mycket tid och jag har hundratals till uppgifter att hinna lösa lösa, tack för att du tog dig energi att försöka hjälpa mig, uppskattas!

tack för hjälpen!

Problemet är nog i huvudsak att jag inte har hittat något sätt att nå fram. Än.

Vi provar igen:

Om vi börjar med det som är givet så finns ett plan som beskrivs av x+2y+2z=0. Som du själv förklarat har det en normal som är (1,2,2) -- vi kan visualisera den typ såhär (här är x-axeln röd, y-axeln grön, och z-axeln blå):

Som Dr. G förklarade i början, innan jag började lägga för många ord på ett ganska enkelt problem: du kan välja vilken vektor som helst i det planet som normal n2 till det andra planet -- det du vill ska konstrueras så att det är vinkelrätt mot det första (givna planet). Alla vektorer x,y,z som uppfyller x+2y+2z går bra eftersom ditt plan passerar genom origo, vi kan t.ex välja en som ligger i x,y planet genom att sätta z=0, då är ekvationen för en sån vektor (egentligen en punkt i planet) x+2y=0. En sån vektor som uppfyller den ekvationen är (-2, 1, 0). Du kan visualisera den såhär:

Du ser nu att vektor n2 går i det gröna planet som du började med, och ligger i skärningen mellan xy-planet och ditt gröna plan, och nu återstår bara att konstruera en ekvation för planet som definieras av normalen n2.

Villkoret för punkter i det nya planet med n2 som normal, om även det antas innehålla origo (mer om det helt snart), är givet av villkoret att skalärprodukten mellan normalen n2 och en (vektor till en) punkt i planet är noll -- alltså (x,y,z)*(-2,1,0)=0, dvs -2x+y=0. Det är en lösning på uppgiften. Vi kan visa planet såhär:

Nu har du löst uppgiften så resten jag nämner här är lite överkurs, men jag tror det kan göra vissa av mina tidigare kommentarer begripliga. Om du kommer ihåg meningen du läste minst 10 gånger utan att förstå den -- det där om att man kan ha någon annan punkt P i planet. Allt det där har att göra med vad som händer om man vill ha ett plan som inte passerar genom origo, men man vet någon annan punkt det ska passera genom. Säg att vi vill, av någon obskyr anledning, att planet vi konstruerar ska, förutom att vara ortogonalt mot det första gröna planet, dessuom passera genom punkten (0,4,0); då blir villkoret att för varje punkt i planet ska vektorn mellan punkten (0,4,0) och punkten (x,y,z) i planet vara ortogonal mot normalen n2, dvs på krumeluriska (p-P)*n2=((x,y,z)-(0,4,0))*n2 = 0, dvs (x, y-4, z)*(-2,1,0)=-2x+y-4=0, eller på en kanske mer normal form där bara termer med x,y och z står till vänster -- -2x+y=4. Den kan man visualisera såhär:

Det är ju samma blå plan parallell-förlyttat så det inte längre innehåller origo.

Men, för att återknyta till hur allt började -- din första tanke var "[...] att om de ska bara vinkelräta bör respektives plans vektorer vara ortogonala?" -- det är sant att respektive plans normalvektorer ska vara ortogonala. När du sen försökte hitta en n2 ortogonal mot n1 och provade med (0,1,1) så var det rätt tänkt men fel räknat (skalärprodukten mellan (2,1,1) och (0,1,1) är ju inte noll -- (0,-1,1) hade däremot funkat, och då hade du kunnat konstruera planet -y+z=0 (inte y+x som du försökte med).