Bestäm ekvationen för de här asymptoterna (Matematik/Matte 4/Grafer och asymptoter)

Ja, det stämmer. För att hitta den sneda asymptoten kan det vara bra att förenkla alla termer som går i bråket.

AlvinB skrev:
Ja, det stämmer. För att hitta den sneda asymptoten kan det vara bra att förenkla alla termer som går i bråket.

$\underset{x - > \pm \infty}{l i m}$ x+((2x+1)/x)? känns som det är fel?

När jag ska bestämma lodrät: $\underset{x - > 0}{l i m}$ (x^2+2x+1)/x=+- $\infty$ ? hur vet jag om det är + eller - oändligheten?

Titta från båda håll om x=0, dvs: $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x}) o c h \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x})$ .

Har du sett att man gör så förut? Man sätter $0^{-} o c h 0^{+}$ , det anger att du går mot x=0 från den negativa och positiva sidan. Det hjälper dig med att bestämma $\pm \infty$ .

Du förkortar igenom att hitta nollställena, i detta fall i nämnaren. Antingen pq-formeln, eller prova sätta in några x-värden och se om det blir 0.

rohanzyli skrev:
Titta från båda håll om x=0, dvs: $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x}) o c h \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x})$ .
Har du sett att man gör så förut? Man sätter $0^{-} o c h 0^{+}$ , det anger att du går mot x=0 från den negativa och positiva sidan. Det hjälper dig med att bestämma $\pm \infty$ .

förstår inte riktigt om +-oändligheten är det asymptoten eller?

Ja, du kan använda denna sida för att förstå innebörden av gränsvärden.

https://www.desmos.com/calculator/5dgvhv3pnp så ser din graf ut, titta vad som händer när man går mot x=0 från båda håll om y-axeln.

rohanzyli skrev:
Ja, du kan använda denna sida för att förstå innebörden av gränsvärden.
https://www.desmos.com/calculator/5dgvhv3pnp så ser din graf ut, titta vad som händer när man går mot x=0 från båda håll om y-axeln.

hur vet jag om det blir +/- oändligheten? det blir väll både?

Japp, dock är det viktigt att visa var ekvationen går mot dessa: $+ \infty o c h - \infty$ .

Dvs: du ska kunna redovisa att t.ex. $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{(x + 1)^{2}}{x}) = - \infty$ och inte till $+ \infty$ .

rohanzyli skrev:
Japp, dock är det viktigt att visa var ekvationen går mot dessa: $+ \infty o c h - \infty$ .
Dvs: du ska kunna redovisa att t.ex. $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{(x + 1)^{2}}{x}) = - \infty$ och inte till $+ \infty$ .

okej hur får jag kx+m genom att förkorta? får x+2+(1/x)?

Kom ihåg när du räknar med gränsvärden, det är ungefär som en standard, det är nästan alltid så att när du har ett gränsvärde som går mot 0 så ska du ej bryta ut något $x^{n}$ (n=vilket tal som helst) så att du får något i stil med $\frac{1}{x^{n}}$ . Då kommer bråket gå mot oändligheten och det vill vi undvika.

Nu hittar jag på ett uttryck så kan du se skillnaden vid gränsvärdesuträkning som går mot 0 och oändligheten:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x^{3} + x^{2} - x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})}{x^{3} (1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})} = \frac{1 - 0 + 0 - 0}{1 + 0 - 0 - 0} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - 2) (x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{0 - 2}{0 + 1} = - 2$

rohanzyli skrev:
Kom ihåg när du räknar med gränsvärden, det är ungefär som en standard, det är nästan alltid så att när du har ett gränsvärde som går mot 0 så ska du ej bryta ut något $x^{n}$ (n=vilket tal som helst) så att du får något i stil med $\frac{1}{x^{n}}$ . Då kommer bråket gå mot oändligheten och det vill vi undvika.
Nu hittar jag på ett uttryck så kan du se skillnaden vid gränsvärdesuträkning som går mot 0 och oändligheten:
$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x^{3} + x^{2} - x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})}{x^{3} (1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})} = \frac{1 - 0 + 0 - 0}{1 + 0 - 0 - 0} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{(x^{3} - 2 x^{2} + x - 2)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - 2) (x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{0 - 2}{0 + 1} = - 2$

okej, så när det är oändligheten kan jag bara föränkla? Förstår inte när det blir +/- oändligheten förstår hur det ser ut men inte hur det blirdet

Om "ekvationen för asymptoterna":

Den allmänna ekvationen för en rät linje är $ax+by=c$ , där a, b och c är konstanter.

För vertikala linjer gäller att $a=1$ och $b=0$ , dvs $x=c$ .
För horisontella linjer gäller att $a=0$ och $y=1$ , dvs $y=c$ .
För övriga linjer gäller att $a\neq 0$ och $b\neq 0$ .

Yngve skrev:
Om "ekvationen för asymptoterna":
Den allmänna ekvationen för en rät linje är $ax+by=c$ , där a, b och c är konstanter.
För vertikala linjer gäller att $a=1$ och $b=0$ , dvs $x=c$ .
För horisontella linjer gäller att $a=0$ och $y=1$ , dvs $y=c$ .
För övriga linjer gäller att $a\neq 0$ och $b\neq 0$ .

okej, det jag fått fram nu är att den vertikala asymptoten är 3. Den horisontella asymtoten är $+ \infty$ . Men tror inte det stämmer. Hur skriver jag om ekvationen jag har på formeln ax+by=c?

är det inte $\underset{x - > 0}{l i m}$ $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x}$ = $+ \infty$ ?

samt den sneda, $\underset{x - > \infty}{l i m} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} = \underset{x - > \infty}{l i m} \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} = \underset{x - > \infty}{l i m} x + 2 + (1 / x)$ där jag inte får till kx+m. Kan jag multiplicera upp x? för att få det?

Den lodräta asymptoten är x=0. Detta är formeln för den räta linje som funktionen nästan (men inte riktigt) kommer fram till.

Du har redan den sneda asymptoten på formen y = kx+m. Du har ju att asymptoten är y=x+2, så k=1, m=2.

Smaragdalena skrev:
Den lodräta asymptoten är x=0. Detta är formeln för den räta linje som funktionen nästan (men inte riktigt) kommer fram till.
Du har redan den sneda asymptoten på formen y = kx+m. Du har ju att asymptoten är y=x+2, så k=1, m=2.

juste men jag skulle väll endast bestämma ekvationen?

Okej men nu går väll x mot +/- oändligheten och då blir det väll fel med 1*x+2?

lamayo skrev:

okej, det jag fått fram nu är att den vertikala asymptoten är 3. Den horisontella asymtoten är $+ \infty$ . Men tror inte det stämmer. Hur skriver jag om ekvationen jag har på formeln ax+by=c?

Till att börja med: En asymptot är inte ett gränsvärde. En asymptot är en rät linje (eller en enkel kurva). De asymptoter vi kommer att stöta på här är troligtvis endast rätlinjiga, så de kan alla uttryckas på formen $ax+by=c$ .

Vi kan börja med den vertikala (lodräta) asymptoten.

Enligt min tidigare beskrivning så kan en vertikal rät linje beskrivas av sambandet $x=c$ , vilket innebär att alla punkter (x, y) som ligger på linjen uppfyller sambandet $x=c$ , dvs x-koordinaten ska vara c och y-koordinaten kan vara vad som helst.

En godtycklig punkt på linjen har alltså koordinaterna (c, y).

Rita! Ser du att det är en beskrivning av en vertikal linje som korsar x-axeln i punkten (c, 0)?

-----------

Nu till din uppgift. Du skriver att

den vertikala asymptoten är 3

Det stämmer inte eftersom f(3) = (3^2 + 2*3 + 2)/3 = 17/3, vilket är ett begränsat värde. Grafen till f(x) skär linjen x = 3 i punkten (3, 17/3) och linjen x = 3 är därför inte en asymptot till f(x).

Du ska istället leta efter det/de värden på x där f(x) är odefinierad.

Titta på grafen här

Yngve skrev:
lamayo skrev:
okej, det jag fått fram nu är att den vertikala asymptoten är 3. Den horisontella asymtoten är $+ \infty$ . Men tror inte det stämmer. Hur skriver jag om ekvationen jag har på formeln ax+by=c?
Till att börja med: En asymptot är inte ett gränsvärde. En asymptot är en rät linje (eller en enkel kurva). De asymptoter vi kommer att stöta på här är troligtvis endast rätlinjiga, så de kan alla uttryckas på formen $ax+by=c$ .
Vi kan börja med den vertikala (lodräta) asymptoten.
Enligt min tidigare beskrivning så kan en vertikal rät linje beskrivas av sambandet $x=c$ , vilket innebär att alla punkter (x, y) som ligger på linjen uppfyller sambandet $x=c$ , dvs x-koordinaten ska vara c och y-koordinaten kan vara vad som helst.
En godtycklig punkt på linjen har alltså koordinaterna (c, y).
Rita! Ser du att det är en beskrivning av en vertikal linje som korsar x-axeln i punkten (c, 0)?
-----------
Nu till din uopgift. Du skriver att
den vertikala asymptoten är 3
Det stämmer inte eftersom f(3) = (3^2 + 2*3 + 2)/3 = 17/3, vilket är ett begränsat värde. Grafen till f(x) skär linjen x = 3 i punkten (3, 17/3) och linjen x = 3 är därför inte en asymptot till f(x).
Du ska istället leta efter det/de värden på x där f(x) är odefinierad.

Asymtoten är 0? så när jag ska bestämma ekvationen ska jag skriva asymptoten? Den sneda är jag inte riktigt med på varför den har formeln kx+m och inte y, nu 1*0+2(det är jag med på).

Nej, den lodräta asymptoten är inte 0, den lodräta asymptoten är x=0.

Du har funktionen $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ som lika gärna kan skrivas som $f(x)= \frac{x^2}{x}+ \frac{2x}{x}+ \frac{2}{x}=x+2+ \frac{2}{x}$ . När x växer mot oändligheten kommer termen $\frac{2}{x}$ att närma sig 0, vilket innebär att kurvan $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ kommer att närma sig linjen $f(x)=x+2$ och alltså är linjen y = x+2 en asymptot.

Har du tittat på bilden som jag länkade till?

Smaragdalena skrev:
Nej, den lodräta asymptoten är inte 0, den lodräta asymptoten är x=0.
Du har funktionen $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ som lika gärna kan skrivas som $f(x)= \frac{x^2}{x}+ \frac{2x}{x}+ \frac{2}{x}=x+2+ \frac{2}{x}$ . När x växer mot oändligheten kommer termen $\frac{2}{x}$ att närma sig 0, vilket innebär att kurvan $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ kommer att närma sig linjen $f(x)=x+2$ och alltså är linjen y = x+2 en asymptot.
Har du tittat på bilden som jag länkade till?

okej, ja då förstår jag, såg på grafen. Känns som det börjar klarna litegrann men tycker fortfarande horisontell och sned är lite svårt att fatta men som jag förstått det ska man i horisontell ha att x går mot +/- oändligheten som sedan gör att funktionen närmar sig ett konstant värde och det är när y är det konstanta värdet som asymptoten är. Sned är som jag förstått det när vi har tex 2+3x+(2/x) och då är det 2+3x eftersom det är vad 2/x kommer närma sig?

Vet du vad orden sned respektive horisontell betyder?

lamayo skrev:
...
Den sneda är jag inte riktigt med på varför den har formeln kx+m och inte y, nu 1*0+2(det är jag med på).

Jag uppfattar det som att du inte riktigt är med på varför en sned rät linje kan beskrivas med en ekvation på formen y=kx+m?

-----------------------

Som jag skrev i denna kommentar så kan alla linjer som varken är horisontella eller vertikala beskrivas av en ekvation på formen $ax+by=c$ , där $a\neq 0$ och $b\neq 0$ .

Du kan då skriva om denna ekvation på följande sätt:

$ax+by=c$

Subtrahera $ax$ från båda sidor:

$a x + b y - a x = c - a x$

Förenkla:

$b y = c - a x$

Dividera med $b$ på båda sidor:

$\frac{b y}{b} = \frac{c}{b} - \frac{a x}{b}$

Förenkla:

$y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$

Kalla nu $- \frac{a}{b}$ för $k$ och $\frac{c}{b}$ för $m$ . Då kan ekvationen skrivas

$y=kx+m$

Eftersom vi vet att $a\neq 0$ och att $b\neq 0$ så ger det oss att $k\neq 0$ och att både $k$ och $m$ är begränsade, dvs inte oändliga.

Där är förklaringen till att en generell (ickevertikal) rät linje kan beskrivas med ekvationen $y=kx+m$ .

-------------------

Det är även förklaringen till att en vertikal rät linje inte kan beskrivas med samma ekvation eftersom det för en sådan linje enligt min tidigare förklaring gäller att $b=0$ och det skulle då innebära ett begränsat värde på $k$ och $m$ på grund av divisionen med $b$ .

Smaragdalena skrev:
Vet du vad orden sned respektive horisontell betyder?

sned att den lutar och horisontell rkt åt sidan

lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Nej, den lodräta asymptoten är inte 0, den lodräta asymptoten är x=0.
Du har funktionen $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ som lika gärna kan skrivas som $f(x)= \frac{x^2}{x}+ \frac{2x}{x}+ \frac{2}{x}=x+2+ \frac{2}{x}$ . När x växer mot oändligheten kommer termen $\frac{2}{x}$ att närma sig 0, vilket innebär att kurvan $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ kommer att närma sig linjen $f(x)=x+2$ och alltså är linjen y = x+2 en asymptot.
Har du tittat på bilden som jag länkade till?
okej, ja då förstår jag, såg på grafen. Känns som det börjar klarna litegrann men tycker fortfarande horisontell och sned är lite svårt att fatta men som jag förstått det ska man i horisontell ha att x går mot +/- oändligheten som sedan gör att funktionen närmar sig ett konstant värde och det är när y är det konstanta värdet som asymptoten är. Sned är som jag förstått det när vi har tex 2+3x+(2/x) och då är det 2+3x eftersom det är vad 2/x kommer närma sig?

Har du läst avsnittet om asymptoter som jag länkade till tidigare?

Här är en annan beskrivning som kanske är mer lättsmält.

Läs dessa, det verkar som om du blandar ihop begreppen lite.

okej! då är jag med! tack! känner att jag behöver träna en hel del på asymtoter framförallt hitta horisontella och sneda (om det finns)

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Nej, den lodräta asymptoten är inte 0, den lodräta asymptoten är x=0.
Du har funktionen $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ som lika gärna kan skrivas som $f(x)= \frac{x^2}{x}+ \frac{2x}{x}+ \frac{2}{x}=x+2+ \frac{2}{x}$ . När x växer mot oändligheten kommer termen $\frac{2}{x}$ att närma sig 0, vilket innebär att kurvan $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x}$ kommer att närma sig linjen $f(x)=x+2$ och alltså är linjen y = x+2 en asymptot.
Har du tittat på bilden som jag länkade till?
okej, ja då förstår jag, såg på grafen. Känns som det börjar klarna litegrann men tycker fortfarande horisontell och sned är lite svårt att fatta men som jag förstått det ska man i horisontell ha att x går mot +/- oändligheten som sedan gör att funktionen närmar sig ett konstant värde och det är när y är det konstanta värdet som asymptoten är. Sned är som jag förstått det när vi har tex 2+3x+(2/x) och då är det 2+3x eftersom det är vad 2/x kommer närma sig?
Har du läst avsnittet om asymptoter som jag länkade till tidigare?
Här är en annan beskrivning som kanske är mer lättsmält.
Läs dessa, det verkar som om du blandar ihop begreppen lite.

ska läsa

lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Vet du vad orden sned respektive horisontell betyder?
sned att den lutar och horisontell rkt åt sidan

Stämmer. Vet du hur man beskriver en horisontell respektive sned linje matematiskt?

Smaragdalena skrev:
lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Vet du vad orden sned respektive horisontell betyder?
sned att den lutar och horisontell rkt åt sidan
Stämmer. Vet du hur man beskriver en horisontell respektive sned linje matematiskt?

nepp

Y-värdet för asymptoten kan bestämmas genom att undersöka gränsvärdet för funktionen där x går mot oändligheten. Till exempel

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(x+2)/(x^{2}-1)}

Hur undersöker jag vad som händer om x går mot+/- oändligtheten?

lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:

Stämmer. Vet du hur man beskriver en horisontell respektive sned linje matematiskt?
nepp

Jag har beskrivit precis det i denna kommentar.

Läs den (igen?) och fråga här om det är något du inte förstår.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Stämmer. Vet du hur man beskriver en horisontell respektive sned linje matematiskt?
nepp
Jag har beskrivit precis det i denna kommentar.
Läs den (igen?) och fråga här om det är något du inte förstår.

förstår fortfarande inte vad jag ska sätta in stället för x, b, y och c

Räta linjens ekvation är något du borde ha lärt dig i Ma2 och som är nödvändigt att du kan nu när du läser Ma4. Repetera det här.

Smaragdalena skrev:
Räta linjens ekvation är något du borde ha lärt dig i Ma2 och som är nödvändigt att du kan nu när du läser Ma4. Repetera det här.

jag förstår den men blir förvirrad över vilka värden som är

Alla räta linjer kan skrivas på formen ax+by+c=0.

Alla räta linjer utom vertikala linjer kan skrivas på formen y=kx+m. Hur hänger dessa båda skrivsätt ihop? Vi försöker lösa ut y ur ax+by+c=0: $a x + b y + c = 0 b y = - a x - c y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ För att vi skall kunna göra detta krävs det att b inte är lika med 0, eftersom man inte kan/får dela med 0.

Lutningen k i formeln y=kx+m motsvarar alltså -a/b i formeln ax+by+c=0, och skärningen med y-axeln m i formeln y=km+m motsvarar alltså -c/b i formeln ax+by+c=0

Nu har jag läst igenom allt ni skrivit igen och är med på noterna. Tack snälla för hjälpen!