Bestäm ekvation för tangent. (Matematik/Matte 4)

Deriveringen ser rätt ut.

Nu behöver du använda värdena på f(-pi/2) och f'(-pi/2)

Men det är produktregeln, inte kedjeregeln.

Laguna skrev:
Men det är produktregeln, inte kedjeregeln.

Det är både produkt- och kedjeregeln.

Såhär då gissar jag på? Ska man räkna i radianer eller i grader på miniräknaren?

Radianer förstås, om du använder miniräknare, men det behöver du inte. Det här går att räkna ut exakt med det du vet om sin och cos. Miniräknaren ger förmodligen bara ungefärliga värden.

Jag fick värdet till -0,4814842976

är detta rätt?

plommonjuice87 skrev:
Jag fick värdet till -0,4814842976

är detta rätt?

Vad är det som har det värdet? Hela uttrycket, eller något annat? Skriv steg för steg hur du gör så är det enklare för oss att hjälpa dig.

Om man kollar i inlägg #5 så är det svaret på allt det. Alltså y-värdet på derivata funktionen. Men det låter som en konstigt värde så undrar om det är rätt.

Om $f(x)=x\cdot\sin(\frac{x}{2})$ så är $f'(x)=x\cdot\frac{\cos(\frac{x}{2})}{2}+1\cdot\sin(\frac{x}{2})=$

$=\frac{x}{2}\cdot\cos(\frac{x}{2})+\sin(\frac{x}{2})$

Då är $f'(-\frac{\pi}{2})=\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\cdot\cos(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2})+\sin(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2})$

Vi kan skriva om detta till $f'(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}\cdot\cos(-\frac{\pi}{4})+\sin(-\frac{\pi}{4})$

Eftersom $\cos(-v)=\cos(v)$ och $\sin(-v)=-\sin(v)$ så kan vi skriva om till

$f'(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}\cdot\cos(\frac{\pi}{4})-\sin(\frac{\pi}{4})$

Titta nu i ditt formelblad efter exakta värden på $\cos(\frac{\pi}{4})$ och $\sin(\frac{\pi}{4})$

Aha okej!
Cos (pi/4) är väl roten ur 2 / 2

Sin (pi/4) är väl samma? Alltså 0,70710678….

så jag ska ta -3,14/4 * cos 0,707 * sin 0,707?

plommonjuice87 skrev:
Aha okej!
Cos (pi/4) är väl roten ur 2 / 2

Sin (pi/4) är väl samma? Alltså 0,70710678….

Ja, både $\cos(\frac{\pi}{4})$ och $\sin(\frac{\pi}{4})$ är lika med det exakta värdet $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Men du ska räkna med och ange exakta värden då det går. Du ska alltså inte räkna med och ange några närmevärden.

så jag ska ta -3,14/4 * cos 0,707 * sin 0,707?

Nej, det blir att $f'(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(\frac{\pi}{4}+1)$

Aha okej. Men när jag räknar med ( pi/4 + 1) ska jag ta 3,14 då bara / 4?

Undrar också varför sin -v = -sin v ?

plommonjuice87 skrev:
Aha okej. Men när jag räknar med ( pi/4 + 1) ska jag ta 3,14 då bara / 4?

Du skall svara med det exakta värdet.

Undrar också varför sin -v = -sin v ?

Rita upp det i enhetscirkeln. Om du inte ser det ändå: Lägg upp din bild här, så kan vi hjälpa dig vidare.

plommonjuice87 skrev:
Aha okej. Men när jag räknar med ( pi/4 + 1) ska jag ta 3,14 då bara / 4?

Jag är osäker på vad du egentligen undrar över.

Uttrycket $\frac{\pi}{4}-1$ kan skrivas på gemensamt bråkstreck om du vill. Det blir då $\frac{\pi -4}{4}$ .

Var det svar på din fråga?

Kommentar;

3,14 är ett närmevärde. $\pi$ är ett exakt värde. Du ska endast räkna med närmevärdet 3,14 om sammanhanget kräver att du gör det.

Du ska alltid försöka använda exakta värden så långt det går. I det här fallet $\pi$ istället för 3,14.

Aja ja jag glömde att pi uträknat fanns på miniräknare 😆. Såhär fick jag det till:)

Nu avrundar du igen. " $\pi$ uträknat" är ett avrundat värde, inte exakt.

Hur ska jag kunna få det exakt då? Spelar det verkligen någon roll?

plommonjuice87 skrev:
Hur ska jag kunna få det exakt då? Spelar det verkligen någon roll?

Du får det genom att fortsätta lösningen algebraiskt, utan att ersätta de exakta värdena med närmevärden.

Och ja det spelar roll.

=================

Jag hittar på ett exempel nu bara för att illustrera skillnaden och hur du förväntas svara.

Säg att vi har en rät linje som har lutningen $\frac{\pi}{3}$ och att den skär $y$ -axeln vid $y=\sqrt{7}$ . Alltså helt påhittade värden.

Du ska då skriva denna linjes ekvation som

$y=\frac{\pi}{3}x+\sqrt{7}$ och inte som $y=1,0472x+2.6458$

Ser du skillnaden?

Aha okej! Då förstår jag ändå.
Förstår att - roten ur 2 / 2 * 1 = samma.

Men hur ska jag kunna räkna ut - roten ur 2/2 * pi/4?

och då svara i ”inte uträknade” siffor?

Smaragdalena skrev:
plommonjuice87 skrev:
Aha okej. Men när jag räknar med ( pi/4 + 1) ska jag ta 3,14 då bara / 4?

Du skall svara med det exakta värdet.

Undrar också varför sin -v = -sin v ?

Rita upp det i enhetscirkeln. Om du inte ser det ändå: Lägg upp din bild här, så kan vi hjälpa dig vidare.

Undrar mest vad sin-v betyder? Är det när det är under y-axeln? Eller vad är den lilla skillnaden mellan sin -v och -sinv ?

plommonjuice87 skrev:
Aha okej! Då förstår jag ändå.
Förstår att - roten ur 2 / 2 * 1 = samma.

Men hur ska jag kunna räkna ut - roten ur 2/2 * pi/4?

och då svara i ”inte uträknade” siffor?

Det känns som att du fastnar på en detalj och därmed missar själva lösningsmetoden.

Vi förenklar det hela ett litet tag och säger att f'(-pi/2) = k.

Här ät k ett "icke uträknat" vörde.

Hur skulle du gå vidare och ta reda på tangentens ekvation då?

plommonjuice87 skrev:

Undrar mest vad sin-v betyder? Är det när det är under y-axeln? Eller vad är den lilla skillnaden mellan sin -v och -sinv ?

Om du inte redan känner till enhetscirkeln och hur de trigonometriska funktionernas vinklar och värden förhåller sig till den så bör du verkligen ta dig tid att sätta dig in i det.

Enhetscirkeln är kung, den kommer att hjälpa dig många gånger.

Börja med att läsa detta avsnitt och fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Yngve skrev:
plommonjuice87 skrev:
Aha okej! Då förstår jag ändå.
Förstår att - roten ur 2 / 2 * 1 = samma.

Men hur ska jag kunna räkna ut - roten ur 2/2 * pi/4?

och då svara i ”inte uträknade” siffor?

Det känns som att du fastnar på en detalj och därmed missar själva lösningsmetoden.

Vi förenklar det hela ett litet tag och säger att f'(-pi/2) = k.

Här ät k ett "icke uträknat" vörde.

Hur skulle du gå vidare och ta reda på tangentens ekvation då?

Ahaaaa så jag ska inte räkna ut det alls alltså. Utan mitt k-värde är = -roten ur 2/2 (pi/4 + 1).

men jag tänker att man kan multiplicera ihop detta lite mer och förenkla det ännu mer. Men hur ska man kunna räkna ut -roten ur 2/2 * pi/4 ?

plommonjuice87 skrev:

Ahaaaa så jag ska inte räkna ut det alls alltså. Utan mitt k-värde är = -roten ur 2/2 (pi/4 + 1).

Ja det stämmer.

men jag tänker att man kan multiplicera ihop detta lite mer och förenkla det ännu mer. Men hur ska man kunna räkna ut -roten ur 2/2 * pi/4 ?

Du ska inte räkna ut det.

Vi fortsätter att arbeta med förenklingen så att vi ser att du förstår vad uppgiften går ut på.

Vi har bestämt att derivatans värde, dvs tangentens lutning, är lika med k.

Visa nu hur du då går vidare och bestämmer ekvationen för den tangenten.

Då får vi väl tillbaka till den ursprungliga funktionen. Där vi sätter in vårt x värdet (-pi/2) och sedan får vi ut ett y-värde då? Men behöver vi verkligen y-värdet? Vi ska ju ha en ekvationen bara.
undrar också om det är ursprungsformeln vi ska använda oss av? Det är väl derivata funktionen?

det är då m-värdet jag inte förstår hur man ska räkna ut?

plommonjuice87 skrev:
Då får vi väl tillbaka till den ursprungliga funktionen. Där vi sätter in vårt x värdet (-pi/2) och sedan får vi ut ett y-värde då? Men behöver vi verkligen y-värdet? Vi ska ju ha en ekvationen bara.

Ja det stämmer och ja, vi behöver det y-värdet.

Tangentens ekvation lyder ju y = kx+m.

Vi har bestämt k-vördet (det vi tillfälligt bara kallar k för att underlätta) och vi vill nu bestämma m-värdet för att kunna uttrycka tangentens ekvation på formen y = kx+m.

För att bestämma m-värdet behöver vi nu känna till koordinaterna för en punkt på linjen.

Säg att vi har punkten (x₀, y₀) på linjen.

Eftersom sambandet y = kx+m ska gälla för alla punkter på linjen så har vi att y₀ = kx₀+m, dvs m = y₀-kx₀

undrar också om det är ursprungsformeln vi ska använda oss av? Det är väl derivata funktionen?

Nej, se ovan

det är då m-värdet jag inte förstår hur man ska räkna ut?

Se ovan.

Så det är derivata funktionen vi ska använda oss av???

vad förstår att vi kan räkna ut m-värdet med m = y0 -kx0

men vad är y0 och x0?

plommonjuice87 skrev:
Så det är derivata funktionen vi ska använda oss av???

Nej, för att hitta tangeringspunktens y-koordinat måste vi använda f(x), inte f'(x).

vad förstår att vi kan räkna ut m-värdet med m = y0 -kx0

men vad är y0 och x0?

Se mitt senaste svar. (x₉, y₀) är en punkt på tangenten. Förslagsvis tangeringspunkten eftersom den är hyfsat lätt att bestämma.

Okej tack. Men förstår ändå inte hur man får fram x och y punkten.

är det att sätta in vårat kända x-värde i grund funktionen för att få fram ett y-värde?

plommonjuice87 skrev:
Okej tack. Men förstår ändå inte hur man får fram x och y punkten.

är det att sätta in vårat kända x-värde i grund funktionen för att få fram ett y-värde?

Ja, det stämmer. Men det är viktigt att du förstår varför det stämmer.

Annars blir det svårt att veta hur du ska göra nästa gång.

Är du med på att alla punkter på grafen till y = f(x) har koordinaterna (x, f(x))?

Ja det har jag koll på. Jag är lite osäker på varför man tar fram y-värdet från den ursprungliga funktionen. Förstår att man får fram y-värdet till tangenten men kan man inte få det från derivata funktionen med? Tangenten är ju lutningen

Till att börja med: Är du med på att

sambandet y = kx+m gäller för alla punkter på tangenten?
om vi känner till k och koordinaterna (x₉, y₀) för en punkt på tangenten så kan vi bestämma värdet på m?
tangeringspunkten ligger på tangenten?
tangeringspunkten ligger även på grafen till y = f(x)?
vi kan kalla tangeringspunktens koordinater (x₀, y₀)?
om vi känner till tangeringspunktens x-koordinat x₀ så kan vi kan ta reda på tangeringspunktens y-koordinat y₀ genom y₀ = f(x₀)?

=≈=================

Derivatafunktionen f'(x) säger endast hur lutningen på grafen till y = f(x) ser ut vid ett visst x-värde, inte vilket värde f(x) har, dvs var grafen befinner sig.

Exempel:

Funktionen g(x) = x² har derivatafunktionen g'(x) = 2x.
Funktionen h(x) = x²+4 har även den derivatafunktionen h'(x) = 2x.

Graferna till y = g(x) och y = h(x) har alltså samma derivatafunktion, vilket innebär att de har samma lutning vid ett givet x-vörde, men de har olika y-vörden vid ett givet x-vörde.

Skissa gärna båda dessa grafer i ett koordinatsystem då syns det bättre.

Om du nu vill ta reda på y-koordinaten för en punkt på grafen till y = g(x) så måste du använda g(x), du kan alltså inte använda g'(x).

Om vi t.ex. vill ta reda på vilken y-koordinat som punkten med x-koordinaten 1 har så får vi värdet y = g(1) = 1². Det betyder att punkten (1, 1) ligger på grafen till y = g(x).

Om vi skulle använda derivatafunktionen så skulle vi få g'(1) = 2•1 = 2. Det betyder att grafen till y = g(x) har lutningen 2 vid x = 1. Det betyder inte att punkten (1, 2) ligger på grafen till y = g(x).

Aha okej då förstår jag bra tack! Så nästa steg är att sätta in x värdet i f(x) för att få fram punkten y. Enligt följande:

Är det rätt uppfattat?

Ja, men du ska inte avrunda.

Du har tidigare hittat ett exakt värde på sin(pi/4). Använd samma värde även här.

Ja men har här vi ju sin -pi/2 ? Vad är exakt värdet på det. Ska jag inte räkna ut det fullständigt utan få fram t.ex roten ur 2/2 eller något liknande som svar?

$\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ , ja.

Ja men nu har jag bara värdena -pi/2

vad är det exakta värdet för det? 0?

plommonjuice87 skrev:
Ja men nu har jag bara värdena -pi/2

vad är det exakta värdet för det? 0?

Sorry, jag skrev fel i svar #35.

Du ska beräkna $f(-\frac{\pi}{2})$

Eftersom $f(x)=x\cdot\sin(\frac{x}{2})$ så blir $f(-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}\cdot\sin(-\frac{\pi}{4})$

Vi har tidigare kommit fram till att $\sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Kommer du vidare då?

Aha nu förstår jag vad du menar.

såhär långt har jag kommit nu då.(om det ser rätt ut)

men hur ska jag sätta ihop -pi/2 * -roten ur 2/2?

Bra, det stämmer.

Svar på din fråga: Du multiplicerar två bråktal på precis samma sätt som du brukar, dvs $-\frac{\pi}{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

Aha ja såklart 😆. Tack så mycket!

så nu när jag var y - värdet och k värdet och x - värdet.
ska jag bara lägga in allt detta i en kx + m funktion för att få fram m - värdet? Eller då m = y - kx ?

såhär: (råkade skriva en parantes för mycket)

Ja det ser rätt ut. Förenkla nu det så långt som möjligt så är du nästan framme.

tror jag har kommit rätt hittils. Men sen vet jag inte riktigt. Blir svårt när det är så många olika nämnare.’

Jag har räknat på det ett tag och har fått fram till att hela förenklingen blir: osäker om jag tänkt rätt dock

Detta blir väl själva m-värdet då?

Ja, det m-värdet är korrekt.

Perfekt 👍. Men då e väl jag klar med uppgiften. Själva ekvationen för tangenten är: (om jag förkortat k-värdet lite till)

Ja det stämmer.

Jag kan inte hitta någon sätt att förkorta det mer? Kan man förkorta mer?

Du kan bryta ut den gemensamma faktorn $-\frac{\sqrt{2}}{8}$

Då blir det väl pi + 4 * x med k och x värdet men hur blir m-värdet om man bryter ut -roten ur 2/8?

Blir m-värdet pi^2 / 8?

Nej. Du kan och bör alltid alltid kontrollera en faktorisering genom att multiplicera ihop faktorerna igen och se om du då får tillbaka det ursprungliga uttrycket.

===========

Om du tycker att det är svårt att faktorisera uttrycket så kan du alltid ställa upp det som en ekvation, typ så här:

$-\frac{\sqrt{2}\cdot {\pi}^2}{16}=-\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot a$

Lös ut $a$ så ser du vad som ska bli kvar.

Såhär lyckas jag komma till.

och föresten var k-värdet rätt uträknat från förra inlägget. :)

plommonjuice87 skrev:
Såhär lyckas jag komma till.

OK. Kontrollera nu att det stämmer.

Dvs multiplicera ihop $-\frac{\sqrt{2}}{8}$ med $\frac{{\pi}^2\cdot0,5}{8}$ och se om du då får tillbaka $-\frac{\sqrt{2}\cdot {\pi}^2}{16}$

och föresten var k-värdet rätt uträknat från förra inlägget. :)

Nej du skrev pi+4*x nen det ska vara (pi+4)*x

Räknade lite till och fick det till pi^2 / 2

detta blir rätt både om man multiplicerar samt om man räknar ut det hela.
men vad blir då a? Är hela m värdet pi^2 / 2 eller är det något mer?

Till slut blir det $y=-\frac{\sqrt{2}}{8}((\pi+4)x+\frac{{\pi}^2}{2})$

-roten ur 2 / 8 (pi + 4) är det k-värdet? Är inte k värdet bara pi + 4 ? Eftersom vi bröt ut -roten ur 2 /8?

plommonjuice87 skrev:
-roten ur 2 / 8 (pi + 4) är det k-värdet?

Ja det stämmer

Är inte k värdet bara pi + 4 ? Eftersom vi bröt ut -roten ur 2 /8?

Nej, k-värdet ändras inte av faktoriseringen.

Om det skulle göra det så skulle det innebära att t.ex. 8x är lika med 4x eftersom 8x = 2*4x.

Aha okej då är din den slutliga ekvationen så förenklad som möjligt. Tack så jättemycket för all hjälp!!!!!
tack!