Bestäm E(X^3) för X ~ Bin(16; 0,25)

Ja det stämmer. Det känns som det lättaste är att använda momentgenererande funktionen som du gjorde.

Hej!

Ja, att använda momentgenererande funktion ($m$) är lämpligt, eftersom $E(X^3)$ är just tredje-momentet för slumpvariabeln $X$.

    $\displaystyle E(X^3) = m^{(3)}(0)$

där $m(s) = E(e^{sX})$, som för Binomialfördelningen $Bin(n,p)$ blir

    $\displaystyle m(s) = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} (pe^{s})^{k}(1-p)^{n-k} = (pe^{s}+1-p)^{n}$.

Funktionens derivata är

    $\displaystyle m'(s) = f(s)\cdot m(s)$

där jag definierat funktionen $f(s) = n\cdot \frac{pe^s}{pe^s+1-p}$. Andraderivatan kan då skrivas

    $m''(s) = (f'(s) + (f(s))^2)\cdot m(s)$

och tredjederivatan som

    $\displaystyle m^{(3)}(s) = (f^{(2)}(s)+3f'(s)f(s)+(f(s))^2)\cdot m(s)$.

Albiki

Stokastisk skrev :

Ja det stämmer. Det känns som det lättaste är att använda momentgenererande funktionen som du gjorde.

Skönt att höra! Alltså jag vet inte vad jag höll på med på tentan...har säkert gjort den mest onödiga uträkningen men har verkligen visat steg för steg hur jag får derivatan haha.