Bestäm ∫ e^2x ∙ cos(x) dx

Hej jag har löst denna uppgift men jag undrar en grej, ska man lägga till + C i slutet eller inte? Här är min lösning iallafall

$\int e^{2 x} \cos x d x = = \frac{e^{2 x}}{2} * \cos x - \int \frac{e^{2 x}}{2} (- \sin x) d x = = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \int \frac{e^{2 x}}{2} * \sin x d x = = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} * \sin x - \int \frac{e^{2 x}}{4} * \cos x d x = = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} * \sin x - [\int e^{2 x} * \cos x d x] / 4 D v s : \int e^{2 x} \cos x d x = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} * \sin x - [\int e^{2 x} * \cos x d x] / 4 \int e^{2 x} \cos x d x + [\int e^{2 x} * \cos x d x] / 4 = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} * \sin x \frac{5}{4} * [\int e^{2 x} \cos x d x] = \frac{e^{2 x} * \cos x}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} * \sin x \int e^{2 x} \cos x d x = \frac{2 e^{2 x} * \cos x + e^{2 x} * \sin x}{5} \int e^{2 x} \cos x d x = \frac{e^{2 x} (2 \cos x + \sin x)}{5} + C$

Ska svaret vara utan +C? Tack på förhand!!!

Snyggt!

Du ska ha med en integrationskonstant C I svaret.

Skulle du kunna förklara varför? Alltså jag löste ju fram och det blev inget C, men sen lägger jag till ett C ändå. Det verkar lite konstigt...

Om vi härleder formeln för partiell integration från produktregeln för derivator så framgår det att integrationskonstanten ska vara med (f och g är funktioner, C är en konstant):

$(fg+C)'=f'g+fg'+0$

Integrera båda sidor:

$\int(fg+C)'=\int f'g+\int fg'$

$fg+C=\int f'g+\int fg'$

$\int f'g=fg+C-\int fg'$

$\int f'g=fg-\int fg'+C$

Jahaaa! Då fattar jag, tack!

Bra.

Härledningen fungerar bra för den som har glömt formeln för partiell integration.

Eller för den som aldrig ens har lärt sig formeln utantill (pekar på mig själv).

Svara

Visa senaste svar