Bestäm dimeensionerna

dey98 skrev:

Jag har redan bestämt dimensionerna av U. Men undrar hur jag avgör om u (lilla) tillhör U (stora). 

Jag kanske är helt ute och cyklar. Men kan det vara så att du behöver gausa matrisen U och sätta det lika med lilla u ? Så att U är vår matris A och b = u och x är någon vektor du får efter gausning  som gör att när du multiplicerar matrisen A med x så får du b. 

Jag testade det, men då får jag en parameter istället, alltså sista raden blir 0. Och jag vet inte vad det säger till mig riktigt. 

dey98 skrev:

Jag testade det, men då får jag en parameter istället, alltså sista raden blir 0. Och jag vet inte vad det säger till mig riktigt. 

Prova att gausa endast A istället och låta bli att sätta lika med den där vektorn de vill att du ska ta reda på om den tillhör U. Kan du hitta col och noll sen? 

Om jag gör det får jag svaret x1=1 x2=-1 och x3=1. 

$\mathbf{u}$ tillhör $U$ om $\mathbf{u}$ kan skrivas som en linjärkombination av spannets vektorer.

De bildar ett linjärt ekvationssystem med fyra okända parametrar (koefficienterna framför vektorerna) och den sökta vektorn som högerled i den utökade matrisen. Jag misstänker att du har löst systemet enligt post #7. Kan du redovisa din lösning?

Jaha jag förstår nu. Efter gauss så får jag ingen pivotelment i sista kolonen. Vilket betyder att sista vektorn, alltså u (lilla), är en linjär kombination av de andra 3 vektorerna på ett eller annat sätt. Det betyder att u (lilla) tillhör U (stora). 

Tack så mycket. 

Du kan också lösa ekvationssystemet, för att u ska vara en linjärkombination ska det gälla att

$\lambda_1\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda_4\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

Det ger upphov till totalmatrisen

$\left(\begin{array}{ccccl}1 & 0 & 1 & 2 &| -2 \\2 & 1 & 0 & 1 &| 3 \\1 & 1 & 1 & 1 &| 1 \\1 & 2 & 0 & -1 & |6 \end{array}\right)$

Som har lösningarna

$\begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Sätter vi för enkelhets skull $t=0$ ser vi alltså att en möjlig linjärkombination är $\lambda_2=3$ och $\lambda_3=-2$, dvs

$u=3\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Precis, det var så jag gjorde. Man kan se i sista steget i gauss att sista kolonen inte har ett pivotelement vilket betyder att den sista vektorn inte är nödvändig alltså den är en linjär kombination av de andra 3 vektorerna.