Bestäm Df samt om möjligt f^-1 för f(x)

 Vad skulle kunna göra att funktionen inte är definierad för ett visst x?

För att bestämma inversen är man hjälpt av att x förekommer på ungefär samma sätt överallt i funktionen. Kan du förenkla uttrycket genom att ersätta något lämpligt deluttryck med en ny variabel z som är en ganska enkel funktion av x?

lite bättre: f(x) = ( e^(3x) + 11 * e^(-3x) ) / ( e^(3x) - 7 * e^(-3x) )

Vad händer ifall ( e^(3x) - 7 * e^(-3x) ) = 0 ?

Funktionen är inte definierad när nämnaren är 0, innebär det att jag ska sätta e^3x-7e^-3x=0?

Genom att sätta z=e^x så får jag (z^3-11z^3)/(z^3+7z^3)

Är jag på rätt väg eller är detta helt fel?

> sätta z=e^x

lovande

> så får jag (z^3-11z^3)/(z^3+7z^3)

alltför bra för att vara sant

Solsidan12345 skrev:

Funktionen är inte definierad när nämnaren är 0, innebär det att jag ska sätta e^3x-7e^-3x=0?

Genom att sätta z=e^x så får jag (z^3-11z^3)/(z^3+7z^3)

Är jag på rätt väg eller är detta helt fel?

 Du ska ta reda på när nämnaren är 0, ja.

Du är på rätt väg, men det har försvunnit lite minustecken.

Trodde det funkade att flytta ner minustecknena men jag ska alltså behålla dom så att ekvationen blir

(z^3+11z^-3)/(z^3-7z^-3)?

Bättre. Kanske även "z = e^(3*x)" .

Om z=e^3x så bli ekvationen (z+(-11z))/(z-(-7z))

= (z-11z)/(z+7z)

Är detta korrekt?

Solsidan12345 skrev:

Om z=e^3x så bli ekvationen (z+(-11z))/(z-(-7z))

= (z-11z)/(z+7z)

Är detta korrekt?

 Nu försvann minustecknen i exponenterna igen. 

> Är detta korrekt?

Alltför bra och enkelt för att vara sant.

Förstår inte riktigt hur jag ska göra med minustecknena i exponenten.

Om z=e^3x blir då e^-3x=z^-1 så att ekvationen ser ut så här: 

(z+11z^-1)/(z-7z^-1) = (z+11/z)/(z-7/z)

> så att funktionen ekvationen ser ut så här

Rätt.

Genom stt utveckla uttrycket så fick jag 

(z^3+11z)/(z^3-7z) = (z^2+11)/(z^2-7)

Sedan använde jag mig av y=f(z) och satte

y=(z^2+11)/(z^2-7) <=> z^2y=z^2+11+7y <=>

z^2=(z^2+11+7y)/y <=> z=sqrt((z^2+11+7y)/(y))

Hur ser jag ifall detta är en invers funktion?

För att hitta Df så satte jag e^3x-7e^-3x=0 och använde mig av e^3x=z vilket ledde till att

z-7/z=0 <=> z(1-7/z^2)=0 <=> z=0 eller z=+-sqrt7

Innebär detta att Df är alla x utom 0 och +-sqrt7?

Solsidan12345 skrev:

Genom stt utveckla uttrycket så fick jag 

(z^3+11z)/(z^3-7z) = (z^2+11)/(z^2-7)

Sedan använde jag mig av y=f(z) och satte

y=(z^2+11)/(z^2-7) <=> z^2y=z^2+11+7y <=>

z^2=(z^2+11+7y)/y <=> z=sqrt((z^2+11+7y)/(y))

Hur ser jag ifall detta är en invers funktion?

 Om du har z på båda sidorna så är du inte riktigt klar än.

Solsidan12345 skrev:

För att hitta Df så satte jag e^3x-7e^-3x=0 och använde mig av e^3x=z vilket ledde till att

z-7/z=0 <=> z(1-7/z^2)=0 <=> z=0 eller z=+-sqrt7

Innebär detta att Df är alla x utom 0 och +-sqrt7?

 Kom ihåg sambandet mellan x och z. Vilka x ger de z du har hittat?

Skrev om uttrycket så att y=(z^2+11)/(z^2-7) <=> 

z^2y-7y=z^2+11 <=> z^2(y-1)=11+7y <=> 

z^2=(11+7y)/(y-1) <=> z=sqrt((11+7y)/(y-1))

Betyder det att funktionen f inte har någon invers, enligt y=f(z)=z^2 <=> z=sqrty eller z=-sqrty?

Bestäm Df:

Jag fick att z=0 eller z=+-sqrt7

Utgick sedan från z=e^3x

z=0 ger att e^3x=0 som saknar lösning

z=-sqrt7 ger att e^3x=-sqrt7 <=> x=(ln(sqrt7))/3

z=sqrt7 ger e^3x=sqrt7 som saknar lösning

Har jag tänkt rätt?

> Genom stt utveckla uttrycket så fick jag 

> (z^3+11z)/(z^3-7z) = (z^2+11)/(z^2-7)

Jag förstår inte vad du har gjort. Innan hade vi ju "f(z) = (z+11/z) / (z-7/z)" efter substitutionen "z = e^(3*x)".

Solsidan12345 skrev:

Bestäm Df:

Jag fick att z=0 eller z=+-sqrt7

Utgick sedan från z=e^3x

z=0 ger att e^3x=0 som saknar lösning

z=-sqrt7 ger att e^3x=-sqrt7 <=> x=(ln(sqrt7))/3

z=sqrt7 ger e^3x=sqrt7 som saknar lösning

Har jag tänkt rätt?

 Ja, förutom att ett minustecken är på fel rad. Men slutsatsen är korrekt. 

Så Df är alltså alla x förutom x=ln((sqrt7)/3)?

Till Taylor:

efter z=e^3x fick jag (z+11/z)/(z-7/z) vilket jag utvecklade genom att utföra addition i täljaren och nämnaren så att jag fick uttrycket ((z^2+11)/(z))/((z^2-7)/z)) 

Utförde division och utvecklade vidare till att jag fick (z^2+11)/(z^2-7)

Därefter satte jag y=f(z) <=> y=(z^2+11)/(z^2-7)

Utvecklade uttrycket så att z stod ensamt och fick då

z=sqrt((11+7y)/(y-1))

Betyder det att det inte finns någon invers till funktionen eftersom uttrycket i HL är roten ur då 

y=f(z)=z^2 <=> z=sqrt(y) eller z=sqrt(-y)?

Du menar sqrt(y) eller -sqrt(y). Ja, om man inte begränsar mängden av  möjliga y har funktionen ingen invers.