Bestäm determinanten (v+11w, w+3u, u+3v)

Nja, du behöver egentligen inget ekvationssystem. Däremot behöver du komma ihåg räknereglerna för determinanter:

$det(u+v, w, y)=det(u,w,y)+det(v,w,y)$. :) 

Jag förstod inte riktigt det där. Skulle behöva mer hjälp på traven.

Jag läser om determinanter; om Sarrus regel, kofaktorutveckling och om vilka operationer man kan göra för att få en triangulär determinantmatris (med nollor i vänstra nedersta hörnet) där man kan räkna ut determinanten genom att multiplicera diagolalelementen.

Men jag har inte kommit till något avsnitt ännu som kan förklara hur jag ska tänka för att lösa denna uppgift.

Om du har en matris, A, med tre kolonnvektorer, u, v och w, men en av vektorerna är sammansatt av två vektorer, säg $v=a+b$, kan du konstruera två matriser, A₁ och A₂, där A₁ består av kolonnvektorerna u, a, w, och A₂ består av u, b, w. Om du behöver beräkna determinanten av A, kan du beräkna determinanten av A₁ och determinanten av A₂, och addera ihop dessa för att få determinanten av hela A. Du kan därmed separera det uttryck du fått, börja såhär:

$\det (v+11w, w+3u, u+3v)=\det (v, w+3u, u+3v)+\det (11w, w+3u, u+3v)$

Upprepa nu denna process, tills du inte längre har några additionstecken. Då kan du börja bryta ut faktorer, och beräkna determinanten med hjälp av den information du fått i uppgiften. 

...

= det(v, w, u+3v) + det(11w, 3u, u+3v)=

= det(v, w, u) + det(11w, 3u, 3v).

Är det rätt?

Nu vet jag att det(u, v, w) =det(A) = 3,

men betyder det att det(v, w, u) = 3? Kolonnerna är ju i annan ordning.

Sedan skulle jag bryta ut och bestämma den nya matrisen.

Jag utgår från att det(v, w, u) = 3 och då har jag först och främst 3.

Sedan bryter jag ut v, w, u ur det(11w, 3u, 3v). och då har jag ju brutit ut 3.

Därefter multiplicerar jag 3 med koefficienterna 11, 3 och 3 och adderar slutligen 3 från det(v, w, u).

$3·11·3·3+3=\mathbf{300}.$

Svaret på uppgiften är att det(v+1w, w+3u, u+3v) är 300.

Jag är inte helt säker på om din utveckling är korrekt, eftersom alla steg inte är utskrivna, men vad det gäller kolonner i olika ordning finns det elementära matriser till hjälp. Metoden du använt ser i allmänhet korrekt ut. :)