Bestäm det minsta värdet som integralen antar

Börja med att rita upp funktionen y = cos(x)-½ så ser du vilket värde du vill välja som t.

Om du behöver mer hjälp, så lägg upp din bild här och fråga igen!

Har jag ritat rätt? Borde t vara vid den röda punkten jag ritade? 

x-axeln passeras av kurvan fyra gånger.

Vore det inte bättre att köra t.o.m. den fjärde gången som x-axeln passeras?

Då får man med hela den negativt bidragande biten mellan den tredje och fjärde gången som x-axeln passeras. Visserligen får man även med den positivt bidragande biten mellan andra och tredje gången som x-axeln passeras, men den tycks av bilden att döma vara mindre än den mellan tredje och fjärde gången.

Tack så mycket! Men om jag hade ritat grafen annorlunda tex så att den passerar x-axeln 5 gånger hade den bästa punkten då varit när den passerar x-axeln en femte gång? 

Om den hade passerat en femte gång skulle en integral fram till den punkten, om vi förutsätter att det bara är att du utökar kurvan, innebära att vi skulle tagit med de positiva värdena och därmed positivt bidragande biten mellan fjärde gången och femte gången. Med andra ord skulle det ge en högre integral då du letade efter ett minimivärde. Så nej, femte nollvärdet skulle då inte vara det bästa alternativet.

Av samma skäl förespråkade jag aldrig den tredje gången den passerade x-axeln som en lämplig integrationspunkt för att minimera integralen.

Det blev klarar nu tack! Betyder detta att när den passerar x-axeln en sjätte gång också är en lämplig punkt? 

Om det du menar är att vi utökar grafen så att den följer samma funktion som tidigare vore det inte en lämplig punkt, det vore den mest lämpliga punkten, med samma resonemang som att den fjärde punkten var mer lämplig än den andra.

Tack! Vad har punkten för x-värde? Tänker jag rätt om jag får: 

x1= 60°+360°•n och n=4

x2= -60°+360°•n och n=4

Hur ska jag fortsätta? 

Sobdo01 skrev:

Har jag ritat rätt? Borde t vara vid den röda punkten jag ritade? 

Vad är det för funktion du har ritat? När jag ritar funktionen cos(x-½) ser den ut så här:

Det står ju cosx - 1/2, inte cos(x-1/2).

Laguna skrev:

Det står ju cosx - 1/2, inte cos(x-1/2).

Du har rätt, jag läste fel.

Sobdo01 skrev:

Har jag ritat rätt?

Dessvärre inte. Jag önskar att jag sett det tidigare så att vi slapp hela sidospåret ovan:

Funktionen är inom intervallet 0 till två pi, eller med andra ord ett varv på enhetscirkeln.

Om vi bara tänker oss hur cosinusfunktionen varierar under ett varv, vad får vi då?

Den börjar vid 1 då x är 0, når värdet -1 då x är pi, för att slutligen nå värdet 1 igen då x är 2*pi.

Även om man subtraherar allt med en halv gör detta bara att hela kurvan flyttas neråt med 0,5, själva kurvans utseende ändras inte.

I grafen du ritat så når den sitt minimumvärde två gånger, kurvan hinner gå igenom två perioder, vilket motsvarar att x-värdet går från 0 till 4*pi. Skall det vara riktigt så borde kurvan ta slut så snart den når sitt maximum för andra gången, dvs. efter en period.

Därmed kan vi slå fast att du faktiskt har markerat rätt i bilden. Nästa steg är att identifiera vilket x-värde punkten motsvarar så att du kan sätta in det som den övre avgränsningen i integralen, samt integrera.

Här är bilden utan parentes.

Tack för svar! Nu förstår jag äntligen :)