bestäm det minsta positiva heltalet a

Bestäm det minsta positiva tal 𝑎 sådant att
ln(1 + 𝑥) ≥ $\frac{x}{1 + a x}$ , 𝑥 ≥ 0. Känns typ självklart att man på något sätt ska använda derivatan, men hur kommer jag inte riktigt på. Har typ börjat skriva om det till f(x)= $\ln (1 + x) - \frac{x}{1 + a x}$ . Har även deriverat det: f´(x)= $\frac{x (2 a - 1 + x a^2)}{(1 + x) (1 + a x)^2}$ .

Tänkte kolla då f´(x)=0 men vet inte hur de hjälper här.

Tacksam för hjälp!

Jag skulle nog serieutvecklat $\ln(1+x)$ kring $x\approx 0$ och sedan beräkna:

$\ln(1+x)(1+ax)=...\ge x$

Jag har inte kollat om derivatan är rätt, men det du vill är att den ska vara positiv för alla x, om det går att ordna. Framför allt ska den vara positiv när x = 0. Har du kollat hur det är med olikheten när x = 0?

Om du sätter

$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+ax}$ så räcker det att visa att:

$f(0)\ge 0$ och $f'(x)\ge 0$ då $x\ge 0$ $\Rightarrow$

$f(x)\ge 0$ för $x\ge 0$

Studera gränsfallet

$\ln(x+1)=\frac{x}{1+ax}$

Lös ut a. Låt $x\to 0$ .

Värdet på 2a - 1 verkar vara viktigt för tecknet på derivatan, om du deriverat rätt - har inte dubbelkollat.

Vad händer om 2a - 1 = 0, 2a - 1 > 0, 2a - 1< 0?

Tex, om 2a - 1 = 0 så är f’(x) > 0 då x > 0.

Laguna skrev:
Jag har inte kollat om derivatan är rätt, men det du vill är att den ska vara positiv för alla x, om det går att ordna. Framför allt ska den vara positiv när x = 0. Har du kollat hur det är med olikheten när x = 0?

varför ska den vara det? Bara för att derivatan är positiv behöver väll inte funktionen vara det?

Jroth skrev:
Studera gränsfallet
$\ln(x+1)=\frac{x}{1+ax}$
Lös ut a. Låt $x\to 0$ .

varför blir det minsta positiva på a?

tomast80 skrev:
Om du sätter
$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+ax}$ så räcker det att visa att:
$f(0)\ge 0$ och $f'(x)\ge 0$ då $x\ge 0$ $\Rightarrow$
$f(x)\ge 0$ för $x\ge 0$

varför räcker det?

lamayo skrev:
Laguna skrev:
Jag har inte kollat om derivatan är rätt, men det du vill är att den ska vara positiv för alla x, om det går att ordna. Framför allt ska den vara positiv när x = 0. Har du kollat hur det är med olikheten när x = 0?
varför ska den vara det? Bara för att derivatan är positiv behöver väll inte funktionen vara det?

Nej, men om den börjar på 0 och sedan stiger så är den det.

Laguna skrev:
lamayo skrev:
Laguna skrev:
Jag har inte kollat om derivatan är rätt, men det du vill är att den ska vara positiv för alla x, om det går att ordna. Framför allt ska den vara positiv när x = 0. Har du kollat hur det är med olikheten när x = 0?
varför ska den vara det? Bara för att derivatan är positiv behöver väll inte funktionen vara det?
Nej, men om den börjar på 0 och sedan stiger så är den det.

aha då fattar jag! tack så mycket för hjälpen!!

Svara

Visa senaste svar