Bestäm det maximala värdet för (b-a)

Jag döper om $a$ och $b$ till $x$ och $y$. Det finns en anledning till detta som blir tydligare senare. 

Vi vill hitta $x,y$ så att

$\displaystyle\int\limits_x^y{\left(7t-t^2 - 10\right)dt} = 0$

Vi beräknar integralen: 

$\displaystyle\int\limits_x^y{\left(7t-t^2 - 10\right)dt} = \left[\frac{7t^2}{2} - \frac{t^3}3 - 10t\right]_x^y$
$\displaystyle= \frac{7y^2}2 - \frac{y^3}{3} - 10y - \left(\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}3 - 10x\right)$
Detta ska vara lika med 0 så vi alla $x,y$ där integralen är 0 uppfyller ekvationen 
$\displaystyle\frac{7y^2}2 - \frac{y^3}{3} - 10y - \frac{7x^2}{2}+ \frac{x^3}3 + 10x = 0$

För att få bort bråken multiplicerar vi med 6. 

$\displaystyle 21y^2 - 2y^3 - 60y - 21x^2 + 2x^3 + 60x = 0$

Vi kan se $y$ som en funktion av $x$. 
Eftersom $y$ är en funktion av $x$ är $y-x$ också det. Vi vill hitta maximipunkten i denna funktion
Låt $f(x) = y-x$. 
Vi har att $f'(x) = y' - 1$. Extrempunkterna till $f$ är där $y' = 1$. Vi kan beräkna $y'$ genom att derivera uttrycket vi fick från integralen med avseende på $x$. 

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(21y^2 - 2y^3 - 60y - 21x^2 + 2x^3 + 60x\right) = \frac{d}{dx}\left(0\right)$

Derivatan av $y$ är $y'$ eftersom $y$ är en funktion av $x$
Derivatan av $HL$ är uppenbart 0. 
Vi får då:

$\displaystyle42y \cdot y' - 6y^2 \cdot y' - 60y' - 42x + 6x^2 + 60 = 0$ 

Flytta över alla termer utan $y$ i sig till HL och faktorisera $y'$ i VL

$\displaystyle y'(42y - 6y^2 - 60) = 42x-6x^2 - 60$ 

Då får vi att

$\displaystyle y' = \frac{42x - 6x^2 - 60}{42y - 6y^2 - 60}$

Vi faktorisera ut $6$ och dividera bort från bråket för att få

$\displaystyle y' = \frac{7x - x^2 - 10}{7y - y^2 - 10}$

Som nämnt tidigare ska detta vara lika med 1

Så $\displaystyle\frac{7x - x^2 - 10}{7y - y^2 - 10} = 1 \iff 7x-x^2 - 10 = 7y - y^2 - 10$

Detta kan vi skriva om som

$\displaystyle y^2 - 7y + (7x-x^2) = 0$

Detta är en andragradare som vi kan lösa med pq

$\displaystyle y = \frac 72 \pm \sqrt{\frac{49}{4} - 7x + x^2} = \frac 72 \pm \sqrt{(x - \frac 72)^2}$

Så $\displaystyle y = \frac 72 \pm (x - \frac 72)$
Alltså är $y = x$ eller $y = 7-x$

$y=x$ är "minipunkten" då differensen blir 0. Alltså är vi intresserade i den andra roten, $y=7-x$

$y - x = (7 - x) - x = 7-2x$. Då blir målet att hitta talen $x$ så att $y = 7-x$
Vi sätter in $y=7-x$ i ekvationen vi fick från integralen

$\displaystyle 21(7-x)^2 - 2(7-x)^3 - 60(7-x) - 21x^2 + 2x^3 + 60x = 0$

Vi ser redan här att, om $7-x = x$ så kommer de första tre termerna bli "det negativa" av de sista 3 termerna och uttrycket blir 0. Så $x=\frac 72$ är en lösning. Detta innebär att vi kan använda polynomdivision för att faktorisera ut $x - \frac 72$. Vi tar detta senare efter att vi förenklat uttrycket. 
Förenklingen är lite irriterande men när allt är klart har vi tredjegradaren

$\displaystyle 4 x^3-42x^2+120x-77 = 0$

Vi använder polynomdivision för att få bort den kända roten $x- \frac 72$. Har inte lust att skriva upp polynomdivisionen men vi får att

$\displaystyle 4x^3 - 42x^2 + 120x - 77 = (x- \frac 72)(4x^2-28x+22)$

Enligt nollproduktsmetoden har vi då att de andra lösningarna till ekvationen är 

$\displaystyle 4x^2-28x+22 = 0$

Så:

$\displaystyle x^2-7x+\frac{11}2 = 0$ 

Enligt pq:

$\displaystyle x = \frac 72 \pm \sqrt{\frac{49}4 - \frac{11}2} = \frac 72 \pm \sqrt{\frac{27}{4}}$

Så $\displaystyle x = \frac{7 \pm 3\sqrt 3}{2}$

Som nämnt tidigare är $y-x=7-2x$ vilket då är $7-(7 \pm 3\sqrt 3) = -\pm 3 \sqrt 3$. Eftersom talet ska bli så stort som möjligt väljer vi den negativa roten. Vi får slutligen då att

$\displaystyle y-x = 3\sqrt 3 \approx 5.196 \approx 5.2$