Bestäm derivatan mha derivatans definition

Det ser bra ut ungefär tills hit:

Kom ihåg att i derivatans definition ska man ju dela med h också, du har mest förenklat f(x+h)-f(x) än så länge. Men här finns ju faktorn h i täljaren, så vad händer om det här bråket delas med h? Och vad händer därefter om återstående h:n går mot noll?

Jag försökte förenkla täljaren.. Ska man inte göra det innan man delar med h?

Det stora målet är ju att bestämma gränsvärdet

$\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Problemet som behöver lösas i såna uppgifter är att om man bara sätter in h=0 direkt så blir det nolldivision. Därför behöver bråket skrivas om tills h:et kan förkortas bort. I steget jag fotade har du förenklat täljaren tillräckligt långt, för där syns faktorn h. Då är det redo att förkortas.

Är det rätt nu?

Fint! Ja det ser ut att stämma =)

Hej,

Vänta till slutet med att låta $h \to 0$; skriv alltså inte $\lim_{h\to 0}$ hela tiden. Låt $h \to 0$ när du inte längre kan förenkla differenskvoten

    $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

• Med $f(x) = \frac{1}{2x^2}$ blir differenskvotens täljare

        $\displaystyle f\left(x+h\right)-f\left(x\right)=\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{\left(x+h\right)^2}-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\left(\frac{1}{x+h}\right)^2-\left(\frac{1}{x}\right)^2\right).$

• Använd Konjugatregeln för förenkla differensen av kvadraterna.

        $\displaystyle f\left(x+h\right)-f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x+h}+\frac{1}{x}\right) =-\frac{h\left(2x+h\right)}{2x^2\left(x+h\right)^2}$.

• Nu kan täljaren inte förenklas mer så differenskvoten kan bildas och man kan låta $h\to 0$ för att få den önskade derivatan.

        $\displaystyle f^\prime\left(x\right) = \lim_{h\to0} -\frac{2x+h}{2x^2\left(x+h\right)^2} = -\frac{1}{x^3}.$

Ska jag alltså inte skriva att h->0 förren på slutet? Vad ska annars skriva?