Bestäm derivatan av inversen i punkten

Börja med att skriva $y = \frac{3x^3+ 7x}{x^2 + 3}$

Sen löser du ut x, dvs skriver om uttrycket så att du får x = någonting med y 

osv

Hilda skrev:

Börja med att skriva $y = \frac{3x^3+ 7x}{x^2 + 3}$

Sen löser du ut x, dvs skriver om uttrycket så att du får x = någonting med y 

osv

Det jag har försökt, bara att jag har bytt på y och x, kan inte lösa ut 

Du behöver inte f^-1(x). Du kan använda ett samband mellan derivatorna av f(x) och f^-1(x).

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/03%3A_Derivatives/3.7%3A_Derivatives_of_Inverse_Functions

Problemet jag har är att hitta värdet av z i $(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z$, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

Cien skrev:

Problemet jag har är att hitta värdet av z i $(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z$, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

 $\left(f^{-1}\right)\text{'}(-\frac{5}{2})$är ju hela uppgiften, eller hur? Om du menar bara $f^{-1}(-\frac{5}{2})=z$, då behöver du lösa f(z) = $-\frac{5}{2}$.

creamhog skrev:

Cien skrev:

Problemet jag har är att hitta värdet av z i $(f^{-1})'(-\frac{5}{2})=z$, om jag har det så kan jag lösa uppgiften. Har helt kört fast i detta steget dock och om någon kan ge mig en liten spark på traven hade det uppskattas :)

 $\left(f^{-1}\right)\text{'}(-\frac{5}{2})$är ju hela uppgiften, eller hur? Om du menar bara $f^{-1}(-\frac{5}{2})=z$, då behöver du lösa f(z) = $-\frac{5}{2}$.

Ja precis, tror jag kan lösa uppgiften nu, stort tack :)

Om någon i framtiden stöter på samma problem börja med att derivera "cancel identity" för inversa funktioner dvs (1)$f(f^{-1}(x))=x \Rightarrow (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Det enda vi egentligen behöver nu är derivatan av f(x) och att hitta värdet på $f^{-1}(x)$ som vi behöver plugga in i derivatan av f(x) i (1). Så vi deriverar f(x), $f'(x)=\frac{3x^4+20x^2+21}{(x^2+3)^2}$. Nu saknas bara $f^{-1}(x)$,

Vi sätter $y=f^{-1}(z)$ & $z=f(y)=\frac{3y^3+7y}{y^2+3} = -\frac{5}{2}$

Vi får en tredjegradare och gissar nollställen, det visar sig att y=-1 är ett nollställe (obs vi har inverterat x->y)

Nu vet vi alltså att $f^{-1}(-\frac{5}{2})=y=-1$ och stoppar in det i (1) $(f^{-1})'(x)$$=\frac{1}{f'(-1)}=\frac{1}{\frac{(-1)^4+(-1)^2+21}{((-1)^2+3)^2}}=\frac{4}{11}$