Bestäm derivatan

Nästan rätt. Du glömmer inre derivatan bara.

Det blir onödigt rörigt att definiera extra funktioner.

Den är inte svår att derivera direkt.

Förstår inte riktigt hur du fick fram $\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$

Det är derivatan av $\sqrt{x}+x$:

$\dfrac{d}{dx}[\sqrt{x}]=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

och

$\dfrac{d}{dx}[x]=1$

vilket ger

$\dfrac{d}{dx}[\sqrt{x}+x]=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1$

Men behöver man inte ta hänsyn att den ligger som nämnare och därför skriva om den så att det inte blir ett bråktal?

BBaro skrev:

 

Men behöver man inte ta hänsyn att den ligger som nämnare och därför skriva om den så att det inte blir ett bråktal?

Förstår inte riktigt. Vad är det du menar ligger som nämnare?

Funktionen är f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$

Är då inte den inre funktionen $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ som ska skrivas om till ($\sqrt{x}+x$${)}^{-1}$  för att den ska kunna deriveras?

BBaro skrev:

Funktionen är f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$

Är då inte den inre derivatan $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ som ska skrivas om till ($\sqrt{x}+x$${)}^{-1}$  för att den ska kunna deriveras?

 Nej, med Trinitys metod deriverar man $(...)^{-4}$ (med minustecken) och får på så sätt med upphöjt till $-1$-delen redan där. Då blir den inre derivatan bara derivatan av $\sqrt{x}+x$.

Så man ska alltså skriva om funktionen f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$    direkt till $(\sqrt{x}+x{)}^{-4}$

och inte så som jag gjorde där jag istället skrev om den inre funktionen $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ till $(\sqrt{x}+x{)}^{-1}$ ? Blir det alltid fel om man gör så?

BBaro skrev:

Funktionen är f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$

Är då inte den inre funktionen $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ som ska skrivas om till ($\sqrt{x}+x$${)}^{-1}$  för att den ska kunna deriveras?

Nej. 

Exempel:

• $(sin(x))^3$ har den inre funktionen $sin(x)$
• $(sin(x))^{-5}$ den inre funktionen $sin(x)$

På samma sätt har $(\sqrt{x}+x)^{-4}$ den inre funktionen $\sqrt{x}+x$

BBaro skrev:

Så man ska alltså skriva om funktionen f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$    direkt till $(\sqrt{x}+x{)}^{-4}$

och inte så som jag gjorde där jag istället skrev om den inre funktionen $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ till $(\sqrt{x}+x{)}^{-1}$ ? Blir det alltid fel om man gör så?

 Det går faktiskt också att göra så, men då krånglar man till det mycket mer. Då måste man applicera kedjeregeln  två gånger istället för en gång.

Jahaa, ja ok då förstår jag.

Tack så mycket för er hjälp!

BBaro skrev:

Så man ska alltså skriva om funktionen f(x) = ${\frac{1}{\sqrt{x}+x}}^4$    direkt till $(\sqrt{x}+x{)}^{-4}$

och inte så som jag gjorde där jag istället skrev om den inre funktionen $\frac{1}{\sqrt{x}+x}$ till $(\sqrt{x}+x{)}^{-1}$ ? Blir det alltid fel om man gör så?

 Nej det blir inte fel. Du har börjat rätt men din derivata z' stämmer inte.

Om $z(x)=(\sqrt{x}+x)^{-1}$ så är även det en sammansatt funktion och du måste ta med ännu en nivå av inre derivata:

$z'(x)=(-1)\cdot (\sqrt{x}+x)^{-2}\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}}+1)$

Ja, förstod var felet låg. 

Tack!