Bestäm den totala sträcka som föremålet har förflyttat sig
Ett föremål som rör sig utmed en linje har hastigheten v(t) = t²-t³ m/s efter t sekunder. Bestäm den totala sträcka som föremålet har förflyttat sig under de två första sekunderna.
Vi hare ett vt-diagram, arean under grafen är sträckan
dvs ca -1.3 m men facit säger 1.5 m
Det är nog så att föremålet rör sig först åt ena hållet och sedan åt det andra. Du har räknat ut hur långt från utgångspunkten föremålet är efter två sekunder.
Laguna skrev:Det är nog så att föremålet rör sig först åt ena hållet och sedan åt det andra. Du har räknat ut hur långt från utgångspunkten föremålet är efter två sekunder.
Hur kan vi veta hur många meter föremålet har rört sig fram/åt ena hållet
Precis som du har gjort, men du får dela upp det i delsträckor beroende på riktningen.
Det är samma slags problem som att beräkna arean mellan en kurva och x-axeln.
Laguna skrev:Precis som du har gjort, men du får dela upp det i delsträckor beroende på riktningen.
Det är samma slags problem som att beräkna arean mellan en kurva och x-axeln.
Fast då behöver jag väl veta vilken del av kurvan hamnar under x-axeln?
Just det. När är hastigheten positiv och när är den negativ?
Laguna skrev:Just det. När är hastigheten positiv och när är den negativ?
hastigheten är positiv när vi rör oss framåt och negativ när vi rör oss bakåt. Ska jag rita funktionen eller bestämma när funktionen är växande?
Skissa funktionen. Det är alltid bra.
Börja då med att bestämma funktionens nollställen och derivatans värde vid dessa nollställen. Det ger dig tillräcklig information för att grovt skissa grafen.
Då ser du i vilka intervall som v(t) är den övre funktionen och i vilka intervall som v(t) är den undre funktionen.
Yngve skrev:Skissa funktionen. Det är alltid bra.
Börja då med att bestämma funktionens nollställen och derivatans värde vid dessa nollställen. Det ger dig tillräcklig information för att grovt skissa grafen.
Då ser du i vilka intervall som v(t) är den övre funktionen och i vilka intervall som v(t) är den undre funktionen.
Jag får det till 1.5 till slut (positivt) efter att jag tog den översta delen minus undre, var det så man skulle ha gjort? Eller bara lägga ihop sträckorna utan att ta hänsyn till tecken t.ex sträckan från 0-1 och sen 1-2 trots att 1-2 blir negativt
Det viktigaste är att du förstår varför du ska räkna på ett speciellt sätt. Annars kommer du att få problem med andra uppgifter som har en lite annan formulering.
Pröva de olika metoderna. Blir det någon skillnad?
Förstår du vad det är du beräknar med de olika sätten?
Och lyckades du göra en grov skiss av grafen?
Yngve skrev:Det viktigaste är att du förstår varför du ska räkna på ett speciellt sätt. Annars kommer du att få problem med andra uppgifter som har en lite annan formulering.
Pröva de olika metoderna. Blir det någon skillnad?
Förstår du vad det är du beräknar med de olika sätten?
Och lyckades du göra en grov skiss av grafen?
Jag hittade nollställen men derivatans lutning var 0 i både så det hjälpte inte så mycket så jag använde geogebra... Vet inte riktigt hur man ska skissa såna grafer, är det meningen att man ska stoppa in random x?
när jag såg grafen insåg jag att vi räknar den positiva sträckan dvs när föremålet rör sig framåt mellan 0,1 och när den rör sig bakåt mellan 1,2 eftersom vi bara bryr oss om hur lång de har färdats så spelar inte tecknet någon roll och därför adderade jag arean för den positiva och negativa delen. (vet inte riktigt om det är rätt att resonera så men man får samma svar om man subtraherar och det är då jag blir förvirrad)
För att skissa grafer behöver man göra en teckentabell. Om du är osäker beskrivs det här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/skissa-grafer
Ja, "hur långt" ett föremål som rör sig fram och tillbaka på en linje måste ju inkludera alla delsträckor oavsett riktning.
I detta fall kan man beräkna det som:
Nichrome skrev:
Jag hittade nollställen men derivatans lutning var 0 i både så det hjälpte inte så mycket så jag använde geogebra... Vet inte riktigt hur man ska skissa såna grafer, är det meningen att man ska stoppa in random x?
Om du menar derivarans värde, dvs grafens lutning så stämmer det inte att den är 0 vid båda nollställena.
Eftersom v(t) = t2-t3 så är v'(t) = 2t-3t2 och vi får då att v'(0) = 0 men att v'(1) = 2-3 = -1.
Eftersom derivatan är negativ vid nollstället x = 1 så måste grafen ligga ovanför t-axeln då 0 < t < 1 och under t-axeln då t > 1.
Det räcker för att skissa grafen grovt.
när jag såg grafen insåg jag att vi räknar den positiva sträckan dvs när föremålet rör sig framåt mellan 0,1 och när den rör sig bakåt mellan 1,2 eftersom vi bara bryr oss om hur lång de har färdats så spelar inte tecknet någon roll och därför adderade jag arean för den positiva och negativa delen. (vet inte riktigt om det är rätt att resonera så men man får samma svar om man subtraherar och det är då jag blir förvirrad)
Ja, det är i det här fallet rätt att tänka att areorna ska summeras.
Orsaken till att du får samma resultat när du subtraherar den ena integralen från den andra är att integralen från 1 till 2 har ett negativt värde eftersom grafen där ligger under t-axeln.
