Bestäm den punkt på hyperbelgrenen som ligger närmast...

Hej!

Jag har fastnat på följande uppgift.

Bestäm den punkt på hyperbelgrenen $x^{2} - y^{2} = 1$ , x > 0, som ligger närmast punkten (0, 1). Bestäm också det minsta avståndet.

Utan bättre idéer tänkte jag att man kunde använda sig av avståndsformeln och sätta in x1=0, y1=1:

$d(x)=\sqrt{(x-0)^2+(y_2-1)^2}$

Jag löste ut y ur den ursprungliga ekvationen

$y=-\sqrt{1-x^2}$

Men sedan kommer jag inte så mycket längre. Det går att förenkla uttrycket men det blir väldigt knasigt:

$d(x)=\sqrt{(x-0)^2+(-\sqrt{1-x^2}-1)^2}$

$d(x)=\sqrt{x^2+1-x^2+\sqrt{1-x^2}+1}=\sqrt{1-x^2}+2$

d(0) blir då 3, vilket inte är rätt svar.

Hjälp uppskattas!

Du ska söka minimum av d inte dess värde i noll.

matsC skrev:
Du ska söka minimum av d inte dess värde i noll.

Ja, det är ju självklart inser jag nu. 😩

Får däremot fortfarande inte fram något vettigt. Funktionens minimum är i x=1 (utesluter negativa värden då x>0 är givet). Då skulle jag få att avståndet till punkten var 2 vilket inte är rätt enligt facit. Enligt facit är rätt avstånd $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Men sätter man in x=1 i första versionen av d(x) så blire det 1. Nånting har gått på tok på vögen till den sista.

andra termen i rotuttrycket har inte kvadrerats bara förts vidare

matsC skrev:
andra termen i rotuttrycket har inte kvadrerats bara förts vidare

Stämmer, jag gjorde om förenklingarna nu och det stämmer. Men 1 är inte rätt svar, utan det är som ovan nämnt roten ur 3/2 som är rätt svar.

Visst valet av 1 var för att visa att det fanns ett fel på vägen inte för att antyda att det skulle vara svaret.

matsC skrev:
Visst valet av 1 var för att visa att det fanns ett fel på vägen inte för att antyda att det skulle vara svaret.

Ja, det förstår jag, men jag får fortfarande 1 som minsta värde för distansfunktionen.

Prova med det positiva y-värdet

Du har sökt och hittat den punkt på undre högra hyperbeldelen som ligger närmast 0,1 men det finns en

som är närmre:

Svara

Visa senaste svar