Bestäm den primitiva funktionen till f(x) = e^x^2

Börja kanske med att läsa om riemannsummor på exempelvis wikipedia

Smutsmunnen skrev:

Börja kanske med att läsa om riemannsummor på exempelvis wikipedia

Har gjort det men förstår inte hur jag ska använda mig av det för att lösa själva uppgiften

Ok svenska wikipedias artikel var extremt fåordig, jag borde ha kollat det innan jag hänvisade dig dit.

Iden på a) är dela in intervallet mellan 0 och 2 i ett antal delintervall och beräkna arean av den minsta rektangel som ryms i delintervallet. 

Så om du har två delintervall så är rektanglarnas bredd 1 och de har höjder f(0) respektive f(1) där f är integranden.

Du kan ju börja med 2 delintervall, sedan 4 sedan 10, sedan kanske 20. Du kommer att få successivt bättre approximationer av arean under kurvan. Om du har lite programmeringskubskaper kan man testa 100 och 1000 delintervall också

Vad du sedan kan göra är att även approximera överintegralen. Då gör du likadant fast istället för att använda funktiinens värde i den vänstra intervallgränsen för att beräkna rektangelns höjd använder du den högra. 

Integralens verkliga värde kommer att ligga mellan det du får när du använder vänstra intervallgränsen och det du får när du använder högra intervallgränsen.

Smutsmunnen skrev:

Ok svenska wikipedias artikel var extremt fåordig, jag borde ha kollat det innan jag hänvisade dig dit.

Iden på a) är dela in intervallet mellan 0 och 2 i ett antal delintervall och beräkna arean av den minsta rektangel som ryms i delintervallet. 

Så om du har två delintervall så är rektanglarnas bredd 1 och de har höjder f(0) respektive f(1) där f är integranden.

Du kan ju börja med 2 delintervall, sedan 4 sedan 10, sedan kanske 20. Du kommer att få successivt bättre approximationer av arean under kurvan. Om du har lite programmeringskubskaper kan man testa 100 och 1000 delintervall också

Jag använde mig av GeoGebra för att testa. Med två rektanglar fick jag det till: 57.32 a.e. Med fyra rektanglar fick jag det till: 34.04 a.e. Med 1000 rektanglar fick jag det till 16.51 a.e. Ser nu att ju fler rektanglar, desto bättre närmevärde får jag till vad jag ska ha. Förstår däremot inte vad du menar med att approximera överintegralen. Samt, är det enbart via ett digitalt verktyg man kan lösa detta eller går det att göra förhand också?

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=1}^{n}f\right(\frac{2k}{n}\left)\right)$

lower sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=0}^{n-1}f\right(\frac{2k}{n}) )$

Jag använde alltså följande geogebra-app

https://www.geogebra.org/m/SNS8SYSg

Smutsmunnen skrev:

Jag använde alltså följande geogebra-app

https://www.geogebra.org/m/SNS8SYSg

Nu ser jag hur det fungerar, och med parallelltrapetser är det väl samma princip antar jag och man kan skriva in det i vanlig GeoGebra räknare?

Hej!

Många approximationsmetoder för att beräkna integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx$

börjar med att dela in intervallet $[0,2]$ i ett stort antal ($n$ stycken) korta delintervall.

    $[0,2] = [0\ ,t_1) \cup[t_1\ ,t_2) \cup [t_2\ , t_3) \cup \cdots \cup [t_{n-1},2]$

Integralen över intervallet $[0,2]$ kan skrivas som en summa av integraler över dessa korta intervall.

    $\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{0}^{t_1}e^{x^2}\,dx+\int_{t_1}^{t_2}e^{x^2}\,dx+\int_{t_2}^{t_3}e^{x^2}\,dx+\cdots+\int_{t_{n-1}}^{2}e^{x^2}\,dx.$

Det finns flera metoder att approximera integranden $e^{x^2}$ över korta intervall. 

• Rektangelmetoden baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett nolltegradspolynom (en konstant funktion).
• Trapetsmetoden baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett förstagradspolynom.
• Simpsons metod baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett andragradspolynom.

Smutsmunnen skrev:

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=1}^{n}f\right(\frac{2k}{n}\left)\right)$

lower sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=0}^{n-1}f\right(\frac{2k}{n}) )$

Hur vet du att det verkliga värdet ligger mellan lower sum och upper sum? Det beror väl på hur funktionen ser ut?

Albiki skrev:

Hej!

Många approximationsmetoder för att beräkna integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx$

börjar med att dela in intervallet $[0,2]$ i ett stort antal ($n$ stycken) korta delintervall.

    $[0,2] = [0\ ,t_1) \cup[t_1\ ,t_2) \cup [t_2\ , t_3) \cup \cdots \cup [t_{n-1},2]$

Integralen över intervallet $[0,2]$ kan skrivas som en summa av integraler över dessa korta intervall.

    $\displaystyle\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{0}^{t_1}e^{x^2}\,dx+\int_{t_1}^{t_2}e^{x^2}\,dx+\int_{t_2}^{t_3}e^{x^2}\,dx+\cdots+\int_{t_{n-1}}^{2}e^{x^2}\,dx.$

Sedan finns det flera metoder att approximera integranden $e^{x^2}$ över korta intervall. 

• Rektangelmetoden baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett nolltegradspolynom (en konstant funktion)
• Trapetsmetoden baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett förstagradspolynom.
• Simpsons metod baseras på att approximera $e^{x^2}$ med ett andragradspolynom.

Tror jag förstår hur du menar. Hittade ett klipp på YT om rektangelmetoden samt trapetsmetoden, kollar på det lite senare då annat behöver studeras just nu.

tomast80 skrev:

Smutsmunnen skrev:

Om du ska ett hyfsat stort antal delintervall så kommer du i praktiken vilja ha något digitalt verktyg. För små intervall fungerar det för hand. Du kan ju illustrera för något litet värde på delintervall så att din lärare ser att du förstått principen men sedan bör nog svaren helst bygga på stort antal delintervall och där förväntas nog inget annat än att du använt något verktyg.

I geogebra så har du dels upper sum och lower sum, det är de jag kallar överintegral respektive underintegral.

Poängen är att du vet att integralens sanna värde ligger mellan dessa gränser.

För att vara tydlig 

upper sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=1}^{n}f\right(\frac{2k}{n}\left)\right)$

lower sum:

$\frac{1}{n}\left(\sum _{k=0}^{n-1}f\right(\frac{2k}{n}) )$

Hur vet du att det verkliga värdet ligger mellan lower sum och upper sum? Det beror väl på hur funktionen ser ut?

Ja det beror på hur funktionen ser ut. 

Hur ser den ut i det här fallet?

I det här fallet är integranden strikt växande så då är upper sum större än lower sum.

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen $\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx$ går ut på att finna en approximation till integranden  $e^{x^2}$ som är nära $e^{x^2}$ över hela intervallet $[0,2]$ (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära $e^{x^2}$ över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet $[0,1].$ 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet $[0,1]$ istället för intervallet $[0,2].$ Låt $u = 0.5x$ så att $du = 0.5dx$ och integralen kan skrivas

    $\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.$

Sedan approximeras integranden $2e^{4u^2}$ med ett Bernsteinpolynom $B_n(u)$ av önskad grad ($n$). 

Albiki skrev:

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen $\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx$ går ut på att finna en approximation till integranden  $e^{x^2}$ som är nära $e^{x^2}$ över hela intervallet $[0,2]$ (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära $e^{x^2}$ över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet $[0,1].$ 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet $[0,1]$ istället för intervallet $[0,2].$ Låt $u = 0.5x$ så att $du = 0.5dx$ och integralen kan skrivas

    $\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.$

Sedan approximeras integranden $2e^{4u^2}$ med ett Bernsteinpolynom $B_n(u)$ av önskad grad ($n$). 

Hej! Själva uppgiften går ut på att jag ska finna ett ungefärligt värde på integralen genom att 1: Dela in arean under grafen i ett antal rektanglar. 2: Dela in arean under grafen i ett antal parallelltrapetser. 3: Använda Simpsons formel för att beräkna integralen.

Om inte jag missförstår ditt lösningsförslag så kan jag nog inte använda mig utav det, tack iallafall för tipset!

1010 skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Avancerade metoder för att approximera integralen $\int_{0}^{2}e^{x^2}\,dx$ går ut på att finna en approximation till integranden  $e^{x^2}$ som är nära $e^{x^2}$ över hela intervallet $[0,2]$ (så kallad likformig approximation) istället för de ovan nämnda metoderna som ger approximationer som är nära $e^{x^2}$ över korta delintervall (så kallad punktvis approximation).

Ett sådant exempel är approximation med Bernsteinpolynom. Detta är polynom som approximerar en funktion över intervallet $[0,1].$ 

För att använda Bernsteinpolynom gör man först ett variabelbyte så att integralen beräknas över intervallet $[0,1]$ istället för intervallet $[0,2].$ Låt $u = 0.5x$ så att $du = 0.5dx$ och integralen kan skrivas

    $\displaystyle\int_{x=0}^{2}e^{x^2}\,dx = \int_{u=0}^{1}2e^{4u^2}\,du.$

Sedan approximeras integranden $2e^{4u^2}$ med ett Bernsteinpolynom $B_n(u)$ av önskad grad ($n$). 

Hej! Själva uppgiften går ut på att jag ska finna ett ungefärligt värde på integralen genom att 1: Dela in arean under grafen i ett antal rektanglar. 2: Dela in arean under grafen i ett antal parallelltrapetser. 3: Använda Simpsons formel för att beräkna integralen.

Om inte jag missförstår ditt lösningsförslag så kan jag nog inte använda mig utav det, tack iallafall för tipset!

Mitt inlägg var avsett att ge dig ytterligare sätt (i viss mening bättre sätt) att approximera integralen ifall du var intresserad av att göra mer än minsta möjliga arbete för att göra läraren nöjd. Det är okej om du inte är intresserad av mitt inlägg; någon annan läsare kanske är intresserad. 

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hej!

Jag lyckades lösa uppgiften med både rektangel- trapets samt Simpsons metoden. Började med att använda mig utav rektangelmetoden där jag fick använda mig utav väldigt många delintervall för att få ut resultatet. Började med 4, därefter 8 som jag löste förhand och sedan använde jag mig utav GeoGebra för större delintervall.

Samma med trapetsmetoden men där behövdes färre delintervall för att få ut rätt svar, och använde mig utav samma delintervall, 4, därefter 8 som jag löste förhand och därefter GeoGebra.

12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

1010 skrev:

12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

12345 skrev:

1010 skrev:

Visa föregående citat

12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

Kollade på ett par olika videoklipp, funkade dock inte för mig att använda mig utav metoden de gjorde. Fann däremot denna sida som visar steg för steg hur man löser uppgiften vilket gav mig mer förståelse. https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/simpsons-rule-calculator/?f=e%5E%28x%29%5E2&a=0&b=2&n=4&steps=on

1010 skrev:

12345 skrev:

Visa föregående citat

1010 skrev:

12345 skrev:

Hej!

Arbetar själv med exakt samma uppgift, undrar därför om du har lyckats att lösa den? I sånna fall, använde du dig utav rektangel- och trapetsmetoden eller riemannsummor? Har försökt löst den med rektangel- och trapetsmetoderna, men resultatet jag fick med de båda metoderna skiljde sig relativt mycket ifrån när jag räknade ut med hjälp av min miniräknares integral-funktion. 

Hjälpte mig ganska mycket, https://www.youtube.com/watch?v=JRNmNtB3Xf0

Tack för hjälpen! Har tänkt samma med rektangel- och trapetsmetoden, är dock osäker på simpsons formeln. Vet du nån bra video du använt dig av för att förstå formeln, eller använde du dig utav wikipedias förklaring för simpsons formeln? 

Kollade på ett par olika videoklipp, funkade dock inte för mig att använda mig utav metoden de gjorde. Fann däremot denna sida som visar steg för steg hur man löser uppgiften vilket gav mig mer förståelse. https://www.emathhelp.net/calculators/calculus-2/simpsons-rule-calculator/?f=e%5E%28x%29%5E2&a=0&b=2&n=4&steps=on

Tack för hjälpen! Förstod med länken du skicka