Bestäm den primitiva funktionen

Det stämmer att ingen av dem försvinner.

Men om du integrerar partieklt två gånger så kommer integranden tillbaka, multiplicerat med lite konstanter.

Då får du en intressant ekvation du kan anvönda.

Pröva runt lite och fråga igen om du kör fast.

Jag har kört fast igen haha. Jag förstår inte hur jag löser det med x i båda, de föreläsningar jag har haft har endast handlat om hur man väljer för att endast få ett x

Integrera partiellt en gång. Då får du ut ett funktionsuttryck och en integral, där integranden är en produkt av en konstant, en exponentialfunktion och en sinusfunktion.

Visa ditt försök!

Integrera nu även denna nya integral partiellt. Då får du ut ett funktionsuttryck och en integral, där integranden är en produkt av en konstant, en exponentialfunktion och en cosinusfunktion.

Du får alltså en ekvation som på vänster sida innehåller din ursprungsintegral och på höger sida en rad funktionsuttryck samt ursprungsintegralen multiplicerat med en faktor.

Typ så här (A är ursprungsintegralen, B är något funktionsuttryck och k är en konstant):

A = B + k•A

Om du nu suvtraherar k•A, från båda sidor så får du A-k•A = B, dvs A(1-k) = B, dvs A = B/(1-k).

Visa ditt försök!

Såhär? Och nu ska jag sätta dessa = varandra?

Första steget är rätt, men sedan ser det ut som om du tar fram primitiva funktionen av integrandens båda faktorer var för sig (se bild). Det är inte rätt.

Gör istället så här.

(Nu skriver jag inte med integrationskonstanten C, men det bör du göra i din lösning.)

Vi får alltså tillbaka ursprungsintegralen I₁ efter att vi integrerat partiellt två gånger.

Blev det tydligare då?

Ja, men hur fortsätter jag sen? X är ju med i båda fortfarande 

Det finns ingen fortsättning. Du behöver bara lägga till en integrationskonstant C så är du klar.

Jag förstår inte riktigt vad du menar med att x är med i båda fortfarande. Båda vad då?

Så svaret på frågan är I1= (e^2x)/5(sinx+2cosx) +C? 

när jag har lärt mig om partiell integration så har läraren alltid tryckt på att det går ut på att man ska få bort ett av x:n, men det kanske inte gäller alltid?

Julialarsson321 skrev:

Så svaret på frågan är I1= (e^2x)/5(sinx+2cosx) +C? 

Pröva!

Du vet väl hur du ska kunna kontrollera om det stämmer?

när jag har lärt mig om partiell integration så har läraren alltid tryckt på att det går ut på att man ska få bort ett av x:n, men det kanske inte gäller alltid?

Om det går så är det bra. Men det går inte alltid, som till exempel i det här fallet.

Kontrollerar jag genom att derivera?

Ja..

Om du då får tillbaka ursprungsintegranden så är det en primitiv funktion, annars inte.

Jag får det att stämma med derivatan. Sista frågan, varför delas inte (sinx+2cosx) med 5 i slutet?

Julialarsson321 skrev:

Jag får det att stämma med derivatan.

Bra

Sista frågan, varför delas inte (sinx+2cosx) med 5 i slutet?

Vill du alltså att det ska vara $\frac{e^{2x}\cdot(\sin(x)+2\cos(x))}{5}+C$?

I så fall är det samma sak som det jag skrev, eftersom $\frac{a}{b}\cdot c=\frac{a\cdot c}{b}$