Bestäm den lösning till differentialekvationen y'...

Mitt tillvägagångssätt

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \frac{d y}{\sqrt{y}} = \sqrt{x} \cdot d x \underset{}{\to} \int \frac{d y}{\sqrt{y}} = \int \sqrt{x} \cdot d x \int \frac{d y}{\sqrt{y}} = 2 \sqrt{y} + C \int \sqrt{x} \cdot d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + D 2 \sqrt{y} + C = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + D [C - D = E] J a g k v a d r e r a r b å d a l e d e n f ö r a t t l ö s a u t y 4 y = \frac{4}{9} x^{3} + E^{2} y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{E^{2}}{4} \frac{E^{2}}{4} = G y = \frac{x^{3}}{9} + G y (0) = 1 = G, G = 1 y = \frac{x^{3}}{9} + 1$

Inte någon som kan kontrollera?

Testa din lösning! Blir y' = sqrt(xy)?

Blev det inte helt rätt när du kvadrerade kanske?

Det är inte lätt att veta vad du vill, när du inte skriver det.

Du har fått fram att $y = \frac{x^{3}}{9} + 1$ . y(0) = 0 + 1 = 1, så det stämmer.

$y' = \frac{3 x^{2}}{9} + 0 = \frac{x^{2}}{3}$

$\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x \cdot (\frac{x^{3}}{9} + 1)} = \sqrt{\frac{x^{4}}{9} + x} \neq \frac{x^{2}}{3}$ så det verkar inte stämma.

Dr. G skrev :
Testa din lösning! Blir y' = sqrt(xy)?
Blev det inte helt rätt när du kvadrerade kanske?

Ja.. Nu ser jag. Jag glömmer helt bort kvadreringsregeln. 2 termer faller ju helt bort.

$2 \sqrt{y} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + D {(2 \sqrt{y})}^{2} = {(\frac{2}{3} x^{3 / 2} + D)}^{2} 4 y = \frac{4}{9} x^{3} + \frac{4 D}{3} x^{3 / 2} + D^{2} y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{D x^{3 / 2}}{3} + \frac{D^{2}}{4} y (0) = 0 + 0 + \frac{D^{2}}{4} = 1, D = \pm 2 y_{1} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x^{3 / 2}}{3} + \frac{2^{2}}{4} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x^{3 / 2}}{3} + 1 y_{2} = \frac{x^{3}}{9} - \frac{2 x^{3 / 2}}{3} + \frac{{(- 2)}^{2}}{4} = \frac{x^{3}}{9} - \frac{2 x^{3 / 2}}{3} + 1$

smaragdalena skrev :
Det är inte lätt att veta vad du vill, när du inte skriver det.
Du har fått fram att $y = \frac{x^{3}}{9} + 1$ . y(0) = 0 + 1 = 1, så det stämmer.
$y' = \frac{3 x^{2}}{9} + 0 = \frac{x^{2}}{3}$
$\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x \cdot (\frac{x^{3}}{9} + 1)} = \sqrt{\frac{x^{4}}{9} + x} \neq \frac{x^{2}}{3}$ så det verkar inte stämma.

Jag skulle behöva lite vägledning om inte det var uppenbart, tycks inte lösa problemet trots att jag prövat olika tillvägagångssätt.

Vad blir $y'$ respektive $\sqrt{x y}$ ? Blir de lika (och f(0) = 1)? I så fall är du klar.

En fundering: Är det verkligen lämpligt använda att $\sqrt{x y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ ? Detta samband gäller endast för $x, y \geq 0$ . Vart i texten framgår detta vilkor?

Lirim.K skrev :
En fundering: Är det verkligen lämpligt använda att $\sqrt{x y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ ? Detta samband gäller endast för $x, y \geq 0$ . Vart i texten framgår detta vilkor?

Om jag inte kan dela upp termen så vet jag inte hur jag ska tackla den som en separabel.. Känner mig väldigt 'lost'. Är jag helt ute och cyklar?

Jag själv är väldigt osäker på just denna punkten. Det var en mer öppen fråga för alla. Får avvakta tills någon annan reder ut detta.

Om jag löser den med en differentialminiräknare så ska svaret bli $y = \frac{x^{3} + 6 x^{3 / 2} + 9}{9}$

Det stämmer ju med din funktion y1.

smaragdalena skrev :
Vad blir $y'$ respektive $\sqrt{x y}$ ? Blir de lika (och f(0) = 1)? I så fall är du klar.

Kolla din funktion y2 på samma sätt.

Den lösning, som du har angivit i ditt första inlägg, är inte korrekt. När du kvadrerar så får du

$y (x) = {(\frac{x \sqrt{x}}{3} + D)}^{2} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x \sqrt{x}}{3} D + D^{2} = \frac{x^{3} + 6 x \sqrt{x} D + 9 D^{2}}{9} = \frac{x^{3} + 6 x^{3 / 2} D + 9 D^{2}}{9} .$

Begynnelse villkoret ger att $D = \pm 1$ . Tydligen så kan du använda dig av begynnelse villkoret för att se att $x, y \geq 0$ och därmed använda kvadratrot-regeln.

Lirim.K skrev :
Den lösning, som du har angivit i ditt första inlägg, är inte korrekt. När du kvadrerar så får du
$y (x) = {(\frac{x \sqrt{x}}{3} + D)}^{2} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x \sqrt{x}}{3} D + D^{2} = \frac{x^{3} + 6 x \sqrt{x} D + 9 D^{2}}{9} = \frac{x^{3} + 6 x^{3 / 2} D + 9 D^{2}}{9} .$
Begynnelse villkoret ger att $D = \pm 1$ . Tydligen så kan du använda dig av begynnelse villkoret för att se att $x, y \geq 0$ och därmed använda kvadratrot-regeln.

Du blir ju tvungen att dividera med 4 för att isolera y(x)?

Lirim.K skrev :
Den lösning, som du har angivit i ditt första inlägg, är inte korrekt. När du kvadrerar så får du
$y (x) = {(\frac{x \sqrt{x}}{3} + D)}^{2} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x \sqrt{x}}{3} D + D^{2} = \frac{x^{3} + 6 x \sqrt{x} D + 9 D^{2}}{9} = \frac{x^{3} + 6 x^{3 / 2} D + 9 D^{2}}{9} .$
Begynnelse villkoret ger att $D = \pm 1$ . Tydligen så kan du använda dig av begynnelse villkoret för att se att $x, y \geq 0$ och därmed använda kvadratrot-regeln.

Så här räknar jag ut det..

$4 y = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 D x^{3 / 2}}{3} + D^{2} y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 D x^{3 / 2}}{12} + \frac{D^{2}}{4} y (0) = 1 y = 0 + 0 + \frac{D^{2}}{4} = 1 D = \pm 2 y_{1 =} \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 (2) x^{3}}{12} + \frac{{(2)}^{2}}{4} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{4 x^{3 / 2}}{12} + \frac{4}{4} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{3 / 2}}{3} + 1 = \frac{x^{3}}{9} + \frac{3 x^{3 / 2}}{9} + \frac{9}{9} = \frac{x^{3} + 3 x^{3 / 2} + 9}{9}$

Du slarvade när du använde kvadreringsreglen, du har fått en faktor 2 för lite $x^{3/2}$ . Så här gjorde jag:

$2y^{1/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$

$y=\left(\frac{2x^{3/2}+3C}{6} \right)^2$

y(0)=1 ger

$y=\frac{(x^{3/2}\pm 3)^2}{9}$

Svara

Visa senaste svar