Bestäm den lösning f(x,y) till differentialekvationen (J.Månsson 4.49b)
Hej!
Kommer inte vidare på följande uppgift (b-uppgiften):
Där jag har gjort följande:
Någon som kan hjälpa mig vidare?
Sätt in uttrycken som du fått utav kedjeregeln för fx' och i den givna partiella differentialekvationen:
Nu kan du välja värdet på k så att en av de partiella derivatorna försvinner i differentialekvationen. Om du väljer , så är det som uteblir. (Och om du väljer så är det som försvinner.)
Låt , d.v.s. och . Efter variabelbytet lyder differentialekvationen
.
Med andra ord beror funktionen inte av variabeln (tänk dig att är konstant med avseende på ). Den kan dock fortfarande bero av variabeln . Det finns alltså en funktion så att . När man återsubstituerar, så får man att PDE:n har lösningen , där är en godtycklig -funktion.
Hittills har man bortsett från randvillkoret, så har kunnat vara vilken funktion som helst.
Nu är det dags att ta hänsyn till randvillkoret och på så sätt kommer man hitta en lämplig funktion så att funktionen uppfyller dels PDE:n, dels randvillkoret.
Aha! Tack nu fattar jag!