Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
2 svar
60 visningar
ChocolateTerrain behöver inte mer hjälp
ChocolateTerrain 430
Postad: 23 jan 10:57 Redigerad: 23 jan 10:57

Bestäm den lösning f(x,y) till differentialekvationen (J.Månsson 4.49b)

Hej!

Kommer inte vidare på följande uppgift (b-uppgiften):

 

 

Där jag har gjort följande:

 

Någon som kan hjälpa mig vidare?

LuMa07 125
Postad: 23 jan 17:38

Sätt in uttrycken som du fått utav kedjeregeln för fx' och fy'f^\prime_y i den givna partiella differentialekvationen:

2fx'+fy'=02(fu'+fv')+k(-fu'+fv')=0(2-k)fu'+(2+k)fv'=02f^\prime_x + f^\prime_y = 0 \iff 2(f^\prime_u + f^\prime_v) + k (-f^\prime_u + f^\prime_v) = 0 \iff (2-k) f^\prime_u + (2 + k)f^\prime_v = 0

Nu kan du välja värdet på k så att en av de partiella derivatorna försvinner i differentialekvationen. Om du väljer k=2k=2, så är det fu'f^\prime_u som uteblir.  (Och om du väljer k=-2k=-2 så är det fv'f^\prime_v som försvinner.)

Låt k=2k=2, d.v.s. u=x-2yu = x-2y och v=x+2yv=x+2y. Efter variabelbytet lyder differentialekvationen

(2-2)fu'+(2+2)fv'=0fv'=0(2-2) f^\prime_u + (2 + 2)f^\prime_v = 0 \iff f^\prime_v = 0.

Med andra ord beror funktionen ff inte av variabeln vv (tänk dig att ff är konstant med avseende på vv). Den kan dock fortfarande bero av variabeln uu. Det finns alltså en funktion gC1g \in \mathcal{C}^1 så att f(u,v)=g(u)f(u,v) = g(u). När man återsubstituerar, så får man att PDE:n har lösningen f(x,y)=g(x-2y)f(x,y) = g(x - 2y), där gg är en godtycklig C1\mathcal{C}^1-funktion.

Hittills har man bortsett från randvillkoret, så gg har kunnat vara vilken funktion som helst.

Nu är det dags att ta hänsyn till randvillkoret och på så sätt kommer man hitta en lämplig funktion gg så att funktionen f(x,y)=g(x-2y)f(x,y) = g(x - 2y) uppfyller dels PDE:n, dels randvillkoret.

ChocolateTerrain 430
Postad: 27 jan 09:23

Aha! Tack nu fattar jag!

Svara
Close