Bestäm den kinetiska energin

När en stel kropp roterar kring en fix punkt O i två dimensioner (och dess tröghetsmoment är noll utanför planet) kan följande uttryck härledas för "rotationell" kinetisk energi:

$T=\dfrac{1}{2}I_O \omega^2$

Notera likheten med:

$\dfrac{1}{2}mv^2$

Från uttrycket du skrev kan vi se att:

$\displaystyle T=\dfrac{1}{2}\omega^2 \sum m_i r_i^2$

Med vetskapen att tröghetsmomentet är $I_O=\sum m_i r_i^2$ fås sedan det första uttrycket.

Notera att för en allmän stel kropp går summauttrycket för tröghetsmomentet så klart mot en integral eftersom antalet partiklar i rörelse går mot oändligheten.

Friläggning

Detta blir relevant senare när du exempelvis vill ta reda på vilken belastning som fästpunkten O utsätts för på grund av rotationen. Att bara beräkna den kinetiska energin kräver ingen friläggning. Det är skillnaden mellan kinetik och kinematik.

trögheten tillhör väl till stången och sen ska jag räkna för kulorna eller?

Det står i uppgiften att T:et är lätt, så det är bara kulorna som har massa.

ja juste, men hur ska jag ställe upp ekvationen för kinetisk energi då?

Blir ekvationen så här?

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}m v_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm} {\omega }^2 \\ K=\frac{1}{2}m (b^2+c^2){\omega }^2+\frac{1}{2}m{\left(c\omega \right)}^2 \end{gathered}$$

Det ska inte stå 1/2 framför första termen i ditt uttryck.

$I_O = 2m(b^2+c^2)+mc^2$

Detta ger:

$T=\dfrac{1}{2}I_O \omega^2 = m(b^2+c^2)\omega^2+\dfrac{1}{2}mc^2$

Edit: Om du faktiskt ska använda ekvationen du skrev upp får du inte glömma att masscentrum väger $3m$, har den translationella hastigheten $v_{cm}=c\omega$ och att tröghetsmomentet kring masscentrum är $2mb^2$. Masscentrum är nämligen i mitten av stången med de tre massorna på.

$$\begin{gathered} Men svaret till uppgiften är \\ T=\frac{1}{2}(3 c^2+ b^2)m{\omega }^2 \\ och jag får inte till det med den lösningen du gav \end{gathered}$$

Jag kan inte se hur det svaret är rätt. Tre olika sätt att attackera problemet på ger det svar jag skrev i förra inlägget. Då får man börja fundera på om det finns tryckfel.

Det viktiga är heller aldrig facit utan att du förstår principen. Du kan se det som ett partikelsystem eller stelkroppsrotation eller förenklad stelkroppsrörelse. Alla sätt ger samma svar.

Jag förstår vad du menar, men men jag använder din ekvation så blir ju det inte samma som facit, och då undrar jag om det är facit som har fel, eller finns det flera svar till uppgiften?

Som jag skrev tror jag bestämt facit är fel. Det finns bara ett svar och det är det som ges av någon av tre följande uttryck:

$T=\dfrac{1}{2}I_O \omega^2$

$\displaystyle T= \dfrac{1}{2} \sum m_i v_i^2$

$T=\dfrac{1}{2}M v_{cm}^2+\dfrac{1}{2}I_{cm}\omega^2$

Där $M=3m$. Alla dessa ger samma svar:

$T=\dfrac{1}{2}(2b^2+3c^2)m\omega^2$

Du kan också använda dig av rörelsemängdsmoment i vektorform och tröghetsmatrisen som blir en enkel beskrivning i två dimensioner.

jaha, en ska till hur blev det

$2b^2+3c^2?$

iqish skrev:

jaha, en ska till hur blev det

$2b^2+3c^2?$

Jag förstår inte vad du menar. Räkna bara ut det med någon av uttrycken så får du det svaret. Jag har redan visat dig exakt hur med två av dem.