Bestäm den allmänna lösningen

K ser ut att vara 2 här. Derivera, stoppa in i ekvationen och bestäm sen a.

använd integrerande faktor

Hej Jezus,

Med hjälp av Produktregeln för derivering kan uttrycket $y^\prime(x)+y(x)$ skrivas som derivatan av en speciell produkt:

$y(x) \cdot e^{x}$

Derivera denna för att få

    $y^\prime(x) e^{x} + y(x)e^{x} = e^{x} \cdot (y^\prime(x) + y(x)).$

Detta visar att om du multiplicerar differentialekvationen med funktionen $e^x$ (den så kallade integrerande faktorn) kan ekvationen skrivas på en form som man kan integrerar direkt.

    $e^x \cdot (y^\prime(x)+y(x)) = 3e^{2x} \cdot e^x \iff (y \cdot e^x)^\prime(x) = 3e^{3x}.$

Integrera detta för att få de sökta lösningarna.

    $y(x) e^{x} = C + e^{3x} \iff y(x) = Ce^{-x} + e^{2x}.$

Notera att denna metod automatiskt ger dig de homogena lösningarna $y_h(x) = Ce^{-x}$ och en partikulärlösning $y_p(x)=e^{2x}$ samtidigt. Tyvärr fungerar metoden bara för linjära differentialekvationer av första ordningen, som din ekvation är ett exempel på.