bestäm definitionsmängden (Matematik/Matte 4)

Nej, du måste dividera med samma sak i täljaren som i nämnaren. Det kallas förkorta (som du säkert vet).

just det... hur gör jag i denna uppgift?

När jag tänbker efter. Vet du vad som menas med definitionsmängd?

Edit: jag tror att du är inne på rätt sak men räknat fel.

nej inte direkt. Försöker förstå det här från boken men är väldigt svårt

Ok, för vilka x är funktionen definierad?

Du får inte dividera med 0
Du får inte ta log₉ på något som är 0 eller negativt

Edit:
Så, om nämnaren inte får vara 0, vad kan x då inte vara?
Om täljaren inte får vara 0, vad får x då inte vara?

jag tänker att det bör vara 3 och 2?

-2

Med mängd avses att ett värde ska hålla sig inom ett eller flera intervall. Ex; y ska vara större än tre men mindre än fyra. Kan uttryckas som 3 < y < 4. Ungefär på den formen avses du nog svara.

Definitionsmängden är alla tal x som ger uttrycket log(x) ett värde på tallinjen. Stoppar du in ett värde utanför definitionsmängden kommer logfunktionen ej att kunna returnera något värde på tallinjen för det "x":et. Vilka tal får du ej stoppa in i i funktionen log()? Kan du inte det, så titta i din formelsamling (Logaritmlagar).

Nästa steg är ju att ta hänsyn till att division ej är definierat för alla möjliga täljare och nämnare. Minst ett undantag finns och det måste du ta hänsyn till.

För att godkännas som värde i definitionsmängden för ditt exempel måste alltså minst två villkor uppfyllas.

OBS: Använd intervallbeteckning för att ange ditt svar. Skriv alltså inte någon dubbelolikhet som t.ex. −12<x≤38, utan ett intervall som t.ex. (−12,38]

det står att jag ska svara så i uppgiften.

2 $<$ x $<$ 3

Det är helt i sin ordning att du använder dubbelolikheter i den här tråden medan vi resonerar, och sen får du formulera det som ett intervall på slutet. De båda sätten att skriva uttrycker ju samma sak.

2 < x < 3 är inte rätt.

Funktionen är logaritmen av en kvot. Du vet när en kvot inte är definierad, det finns ett tal man inte kan dela med.

Vad vet du om vad man kan ta logaritmen av? Vilka tal är inte tillåtna?

ja man får inte ta log av negativa tal. Kan ni inte skriva upp exempel på hur man räknar en sån här uppgift. Så jag kan följa med i uträkningen.

Ta en sak i taget.

Vi förenklar det hela lite så vi enklare ser strukturen och kan bena ut de villkor vi vill få fram. Om vi kallar täljaren 33 - 3x för A och nämnaren 2x - 12 för B så kan vi skriva $f(x)=log_9(\frac{A}{B})$ .

Uttrycket är alltså "niologaritmen av en kvot A/B".

Vi börjar med att försöka hitta alla värden på x som gör detta uttryck odefinierat, dvs alla värden på x som inte ingår i definitionsmängden, dvs alla värden på x som är otillåtna..

Otillåtna värden är de där:

B = 0, eftersom kvotens värde då är odefinierat. Det ger dig en ekvation för otiilåtna värden på x. Visa oss hur den ser ut.
A/B = 0, eftersom vi då försöker ta logaritmen av 0, vilket är odefinierat. Det ger dig ytterligare en ekvation för otillåtna värden på x. Visa oss hur den ser ut
A/B < 0, eftersom vi då försöker ta logaritmen av ett negativt tal, vilket är odefinierat. För att kvoten ska ha ett värde som är negativt så måste täljaren och nämnaren ha olika tecken. Ett enkelt sätt att ta reda på vilka värden på x som uppfyller detta villkor är att rita de två linjerna y = 33 - 3x och y = 2x - 12 i samma koordinatsystem och se var dessa linjer befinner sig på var sin sida om x-axeln. Visa din figur.

När du väl har hittat alla värden på x som inte ingår i definitionsmängden så kan vi hjälpa dig att sätta ihop en beskrivning av de värden på x som ingår i definitionsmängden.

$\frac{33 - 3 x}{2 x - 12}$ Den övre är ekvation A och den andra är ekvation B.

Så då menar du att om jag tex sätter att A=11 så blir 33-3x11=33-33=0

och B=0 ger att jag sätter in B=6 så blir det 2x6-12=12-12=0

Så då var x inte var 11 och 6

nu vet jag int ehur jag tar mig vidare

Joh_Sara skrev:
$\frac{33 - 3 x}{2 x - 12}$ Den övre är ekvation A och den andra är ekvation B.
Så då menar du att om jag tex sätter att A=11 så blir 33-3x11=33-33=0
och B=0 ger att jag sätter in B=6 så blir det 2x6-12=12-12=0
Så då var x inte var 11 och 6
nu vet jag int ehur jag tar mig vidare

Bra början!

Du har kommit fram till att x inte får ha värdet 11, eftersom då blir $\frac{33-3x}{2x-12}=0$ och vi kan inte logaritmera talet 0.

Du har kommit fram till att x inte får ha värdet 6, eftersom då blir $\frac{33-3x}{2x-12}$ odefinierat.

Nästa steg är att försöka hitta alla de värden på x, för vilka kvoten $\frac{33-3x}{2x-12}$ är ett negativt tal, dvs alla de värden på x för vilka $\frac{33-3x}{2x-12}<0$ .

Detta inträffar då täljaren $33-3x$ och nämnaren $2x-12$ har olika tecken.

Är du med på det?

Om inte så kan vi gå igenom det lite mer i detalj.

Men om du är med på det så kan vi gå vidare på några olika sätt, till exempel:

Att du ritar två linjer i ett koordinatsystem som jag tipsade om i mitt förra svar.
Att du gör en teckentabell för täljare respektive nämnare.
Att du löser olikheten $\frac{33-3x}{2x-12}<0$

Vilket/vilka av dessa vill du helst använda?

jag är inte riktigt med på det. Åh tycker detta är jättesvårt :( du får gärna gå igenom det.

OK vi tar några exempel först.

$\frac{4}{2}=2$ . Både täljare och nämnare är positiva tal, dvs både täljare och nämnare har samma tecken. Kvoten är ett positivt tal.
$\frac{-4}{-2}=2$ . Både täljare och nämnare är negativa tal, dvs både täljare och nämnare har samma tecken. Kvoten är ett positivt tal.
$\frac{-4}{2}=-2$ . Täljaren är ett negativt tal, nämnaren är ett positivt tal, dvs täljare och nämnare har olika tecken. Kvoten är ett negativt tal.
$\frac{4}{-2}=-2$ . Täljaren är ett positivt tal, nämnaren är ett negativt tal, dvs täljare och nämnare har olika tecken. Kvoten är ett negativt tal.

Är du med så långt?

okej, ja det där förstår jag.

om jag ritar ett teckenschema. som jag också känner mig osäker på...

där 6 och 11 är nollställen. Där pilarna är har jag tagit värden som är mindre än 6, större än 6 men mindre än 11 och som är större än 11 och satt in i ekvationerna för att få fram vilket tecken det är före under och efter nollställerna.

Min fråga är nu hur sammanställer jag detta till att det ska bli ett intervall

Joh_Sara skrev:
om jag ritar ett teckenschema. som jag också känner mig osäker på...

OK mycket bra.

Jag antar att den första raden visar vilket tecken uttrycket (inte ekvationen) 33 - 3x har och att den andra raden visar vilket tecken uttrycket 2x - 12 har.

I så fall är det nästan rätt.

Det ska bara vara ett minustecken på första raden då x > 11 (se bild), eftersom 33 - 3x < 0 då x > 11.

Korrigera det och lägg upp en ny bild.

ja just det det ska vara - ja. Men okej så nu är jag nära svaret här?

och då innebär det att 2x-12 $<$ 0 då x $>$ 6?

och när man skriver ihop detta så blir det?

och vad gör jag med log9??

Joh_Sara skrev:
ja just det det ska vara - ja. Men okej så nu är jag nära svaret här?

Ja du har kommit långt nu. Men det är en bit kvar.

och då innebär det att 2x-12 $<$ 0 då x $>$ 6?

Nej, tvärtom. I ditt teckenschema har du ju skrivit att 2x - 12 < 0 då x < 6 och att 2x - 12 > 0 då x > 6.

Pröva själv:

Om x till exempel är lika med 0 (vilket är mindre än 6) så är 2x - 12 = 2*0 - 12 = 0 - 12 = -12, vilket är mindre än 0.

Om x till exempel är lika med 10 (vilket är större än 6) så är 2x - 12 = 2*10 - 12 = 20 - 12 = 8, vilket är större än 0.

och när man skriver ihop detta så blir det?
och vad gör jag med log9??

Nej du är inte redo att skriva ihop det ännu.

Du ska med hjälp av teckenschemat se vid vilka värden på x som uttrycken 33 - 3x och 2x - 12 har olika tecken, dvs i vilka "kolumner" det står + på ena raden och - på andra raden.

$log_9$ behöver du inte bekymra dig om längre eftersom du redan har använt informationen att det du logaritmerar inte får vara vare sig 0 eller mindre än 0.

Visa din uppdaterade tabell och markera de "kolumner" där det gäller.

det är det olika tecken.

hur tyder jag hur "krokodilgapen" ska vara vända ut efter teckenschemat?

Snyggt!

Du ser att täljare och nämnare har olika tecken i två områden:

Då x är mindre än 6, dvs då x < 6
Då x är större än 11, dvs då x > 11

Detta är alltså de sista "förbjudna" intervallen för x.

Nu kan vi lista alla förbjudna värden för x.

x får inte vara mindre än 6, dvs det får inte vara så att $x<6$ .
x får inte vara lika med 6, dvs det får inte vara så att $x=6$ .
x får inte vara lika med 11, dvs det får inte vara så att $x=11$ .
x får inte vara större än 11, dvs det får inte vara så att $x>11$ .

Jag tycker att du ska illustrera detta på en tallinje så blir det kanske enklare att sammanfatta.

Rita en tallinje, markera de förbjudna värdena och visa din bild här.

OK tallinjen är bra men jag saknar markeringen. Dessutom betyder villkoret du har skrivit att x ska vara större än eller lika med 6 och att x ska vara större än eller lika med 11. Det stämmer inte.

======

Jag har markerat de "förbjudna" intervallen med rött och det "tillåtna" intervallet med grönt, se bild

Det tillåtna intervallet är funktionens definitionsmängd:

x måste vara större än 6 och mindre än 11.

Det kan vi skriva som två villkor x > 6 och x < 11 eller också kan vi skriva ihop det till ett villkor 6 < x < 11. Hänger du med på det?

Sista steget blir att skriva detta på den form de efterfrågar. Vet du hur du ska göra det, dvs hur du ska översätta dubbelvillkoret 6 < x < 11 till den andra formen?

skiver man då (-11,6)

Varför -11?

Intervallbeteckning: Intervall_(matematik)

Joh_Sara skrev:
skiver man då (-11,6)

Nej, vänstra (undre) gränsen är 6.

Högra (övre) gränsen är 11.

Exempel:

Intervallet $3\leq x\leq6$ skrivs $[3,6]$
Intervallet $3\leq x<6$ skrivs $[3,6)$
Intervallet $3<x\leq6$ skrivs $(3,6]$
Intervallet $3<x<6$ skrivs $(3,6)$

"Hakparenteser" [ och ] anger att ändpunkten ingår i intervallet.

"Vanliga" parenteser ( och ) anger att ändpunkten inte ingår i intervallet.

okej jag fattar inte.

men -11 och 6 ingår väl i detta intervall?

Nej, varifrån får du -11?

okej men då är det alla tal som är mellan -11 och 6 men det får inte var -11 eller 6

herregud va trött jag är nu, haha förlåt... det ska väl vara (11,6)

11 och 6 är rätt men innanför parenteserna ska du först skriva den undre gränsen, sedan ett kommatecken, sedan den övre gränsen.

Exempel: Intervallet 3 < x < 6 ska skrivas (3, 6), inte (6, 3)

Då ska det stå (6,11)

JA! Nu är vi framme vid rätt svar.

Bra kämpat.

Äntligen! Tack för tålamodet. Nu förstår jag mycket bättre.

Joh_Sara skrev:
Äntligen! Tack för tålamodet. Nu förstår jag mycket bättre.

Härligt! Fråga gärna mer om det som är oklart.