Bestäm definitionsmängd (restriktion) så f(x) har invers

Här gäller det att förstå varför $f(x)=-x^2+2x+3$ saknar invers. Känner du till att en funktion $f(x)$ är inverterbar endast om den är bijektiv?

Kan du hitta ett intervall på vilket funktionen $f(x)$ är bijektiv?

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Funktionen f(x) har inte en invers, eftersom man kan dra en vågrät linje i grafen som korsar funktionen på mer än ett ställe. Om du väljer ut en lämplig delmängd av de reella talen t ex x>4 (påhittat exempel) så finns det bara ETT x-värde för varje y-värde i denna mängd, så då kan man hitta en invers till funktionen. Detta är nära besläktat med att en funktion endast har ETT y-värde till varje x-värde, så om man kan dra en lodrät linje i en graf som korsar kurvan på mer än ett ställe är grafen inteen funktion.

Ah, okej! Bl a så ger f(2) = 3 och f(0) = 3.

Har du ritat? Om ja, lägg upp bilden här. Om nej, rita och lägg upp bilden här. Sedan kan vi titta på bilden och se vad som blir en lämplig restriktion av definitionsmängden för att funktionen skall ha en invers.

Var någonstans skall du placera en (lodrät) linje så att varje y-värde till höger (eller till vänster) om linjen endast skall motsvara ett enda x-värde?

I (1,4) antar jag?

(1,4) är en punkt, inte en linje. Var skall du placera linjen som delar de reella talen i två delar, som var och en kan vara en värdemängd där funktionen har en invers?

Smaragdalena skrev:

(1,4) är en punkt, inte en linje.

Det är väl precis i den punkten han ska lägga vertikala linjen? Om vi delar på de reella talen där möjliggör det formuleringen av två olika inverser:

$$\begin{gathered} h\left(y\right)=1+\sqrt{4-y};\hspace{0.17em}D\left(h\right)=(-\infty ,4], V\left(h\right)=[1,\infty ) \\ g\left(y\right)=1-\sqrt{4-y}; D\left(g\right)=(-\infty ,4], V\left(g\right)=(-\infty ,1] \end{gathered}$$

Ebola skrev:

Smaragdalena skrev:

(1,4) är en punkt, inte en linje.

Det är väl precis i den punkten han ska lägga vertikala linjen? Om vi delar på de reella talen där möjliggör det formuleringen av två olika inverser:

$$\begin{gathered} h\left(y\right)=1+\sqrt{4-y};\hspace{0.17em}D\left(h\right)=(-\infty ,4], V\left(h\right)=[1,\infty ) \\ g\left(y\right)=1-\sqrt{4-y}; D\left(g\right)=(-\infty ,4], V\left(g\right)=(-\infty ,1] \end{gathered}$$

Exakt - men (1,4) är en punkt som man kan dra hur många räta linjer som man vill genom. Det är bara linjen x = 4  som är intressant i det här fallet.

Smaragdalena skrev:

Exakt - men (1,4) är en punkt som man kan dra hur många räta linjer som man vill genom. Det är bara linjen x = 4  som är intressant i det här fallet.

Jag tänkte på att du skrev:

Var någonstans skall du placera en (lodrät) linje...

Därmed borde hans svar gälla just en lodrät linje. Att ange (1,4) är förvisso ganska knepigt men han menade nog x = 1. Bra rättning dock, jag förstår vad du menar.

Okej, tack för hjälpen, då tror jag att jag förstår!

Hej!

Figuren visar att funktionen $f$ är strängt växande på intervallet $(-\infty,1)$. Det betyder att funktionen $f:(-\infty,1)\to (-\infty,4)$ är inverterbar.

Figuren visar även att funktionen $f$ är strängt avtagande på intervallet $(1,\infty)$. Det betyder att funktionen $f:(1,\infty)\to (-\infty,4)$ är inverterbar.

Om vi ska vara petiga så går det även att välja andra restriktioner, t.ex. $x\geq2$ eller $x<-1$.

Yngve skrev:

Om vi ska vara petiga så går det även att välja andra restriktioner, t.ex. $x\geq2$ eller $x<-1$.

Ska man vara petig så är olikheterna du skrivit ej några restriktioner.

Däremot är det funktionerna

    $g:(2,\infty)\to(-\infty,4)$

och

    $h:(-\infty,-1)\to(-\infty,4)$

där $g(x)=-x^2+2x+3$ och $h(x)=-x^2+2x+3.$

För de som undrar: Det är fel att påstå att funktionerna $g$ och $h$ är samma funktion. 

Albiki skrev:

Yngve skrev:

Om vi ska vara petiga så går det även att välja andra restriktioner, t.ex. $x\geq2$ eller $x<-1$.

Ska man vara petig så är olikheterna du skrivit ej några restriktioner.

Däremot är det funktionerna

    $g:(2,\infty)\to(-\infty,4)$

och

    $h:(-\infty,-1)\to(-\infty,4)$

där $g(x)=-x^2+2x+3$ och $h(x)=-x^2+2x+3.$

För de som undrar: Det är fel att påstå att funktionerna $g$ och $h$ är samma funktion. 

OK jag tolkade begreppet restriktion som det står i uppgiften, nämligen som en begränsning av definitionsmängden till f så att funktionen blir injektiv på denna begränsade definitionsmängd.

Stämmer alltså inte den tolkningen?

En restriktion är en funktion.

Albiki skrev:

En restriktion är en funktion.

OK då hade jag fel i tolkningen av restriktion (och uppgiften är felformulerad).

Hursomhelst så var min poäng den att det finns fler sätt att begränsa definitionsmängden än det som först presenterades.