Bestäm de imaginära rötterna till grafen

Du vet att $f(x)$ är en andragradsfunktion, vilket betyder att den kan skrivas $f(x)=ax^2+bx+c$

Du vet funktionsvärdet då $x=0$, vilket låter dig direkt bestämma $c$.

Du vet var symmetrilinjen ligger, vilket ger dig ett värde på $-\frac{b}{2a}$

Du ser att då $x$ går från $0$ till $1$ så ökar $f(x)$ med $1$, vilket ger dig en ledtrpd till vad $a$ blr vara.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Du vet att $f(x)$ är en andragradsfunktion, vilket betyder att den kan skrivas $f(x)=ax^2+bx+c$

Du vet funktionsvärdet då $x=0$, vilket låter dig direkt bestämma $c$.

Du vet var symmetrilinjen ligger, vilket ger dig ett värde på $-\frac{b}{2a}$

Du ser att då $x$ går från $0$ till $1$ så ökar $f(x)$ med $1$, vilket ger dig en ledtrpd till vad $a$ blr vara.

Kommer du vidare då?

förstod inte direkt, är c symmetrilinjen? Vart får du 2a ifrån? 

Det räcker väl att se att det är en andragradsfunktion, att den är symmetrisk i y-axeln och att minimipunkten är (0,4), d v s y = kx²+4, och sedan väljer vi en punkt till som ligger på kurvan, t ex punkten (1,5) så att vi får ekvationen k^.1²+4 = 5 d v s k = 1. Då är det bara resten kvar: att lösa ekvationen x² = -4.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer

Smaragdalena skrev:

Det räcker väl att se att det är en andragradsfunktion, att den är symmetrisk i y-axeln och att minimipunkten är (0,4), d v s y = kx²+4, och sedan väljer vi en punkt till som ligger på kurvan, t ex punkten (1,5) så att vi får ekvationen k^.1²+4 = 5 d v s k = 1. Då är det bara resten kvar: att lösa ekvationen x² = -4.

Aha okej förstår! Men vart fick du 4 ifrån i kx + 4? 

ödlan123 skrev:

förstod inte direkt, är c symmetrilinjen? Vart får du 2a ifrån? 

Nej symmetrilinjen är x = 0

$2a$ kommer från ABC-formeln (kallas även lösningsformeln) för andragradsekvationer:

Om $ax^2+bx+c=0$ så är $x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$, dvs detta är x-koordinaterna för nollställena.

Eftersom symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena så gäller att symmetrilinjen är $x=-\frac{b}{2a}$

Du kan läsa mer om andragradspolynom, andragradsekvationer och symmetrilinjen här.

ödlan123 skrev:

Smaragdalena skrev:

Det räcker väl att se att det är en andragradsfunktion, att den är symmetrisk i y-axeln och att minimipunkten är (0,4), d v s y = kx²+4, och sedan väljer vi en punkt till som ligger på kurvan, t ex punkten (1,5) så att vi får ekvationen k^.1²+4 = 5 d v s k = 1. Då är det bara resten kvar: att lösa ekvationen x² = -4.

Aha okej förstår! Men vart fick du 4 ifrån i kx + 4? 

Det läste jag av i grafen. f(0) = 4.

Yngve skrev:

ödlan123 skrev:

förstod inte direkt, är c symmetrilinjen? Vart får du 2a ifrån? 

Nej symmetrilinjen är x = 0

$2a$ kommer från ABC-formeln (kallas även lösningsformeln) för andragradsekvationer:

Om $ax^2+bx+c=0$ så är $x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$, dvs detta är x-koordinaterna för nollställena.

Eftersom symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena så gäller att symmetrilinjen är $x=-\frac{b}{2a}$

Du kan läsa mer om andragradspolynom, andragradsekvationer och symmetrilinjen här.

ok så b = 0 eftersom det ska bli 0, men förstår inte sedan hur jag kommer vidare i uträkningen? 

ödlan123 skrev:

ok så b = 0 eftersom det ska bli 0, men förstår inte sedan hur jag kommer vidare i uträkningen? 

Du vet att parabeln har ekvationen $y=ax^2+bx+c$ 

Eftersom grafen skär y-axeln vid $y = 4$ så gäller det att $y(0)=4$, vilket innebär att $c = 4$.

Eftersom symmetrilinjen både kan skrivas $x=0$ och $x=-\frac{b}{2a}$ så måste det gälla att $-\frac{b}{2a}=0$, dvs att $b=0$.

Då har vi bestämt både $b$ och $c$, vilket innebär att vi har parabelns ekvation $y=ax^2+4$

För att bestämma $a$ kan vi nu ta godtycklig punkt på parabeln och sätta in dess koordinater i ekvationen.

Vi väljer t.ex. punkten $(1,5)$.

Det ger oss ekvationen $5=a\cdot1^2+4$, vilket ger oss $a=1$.

Ett annat och snabbare sätt är att se att om vi sänker parabeln 4 steg i y-led så kommer den att vara $y=x^2$

Det vi ser är alltså en $x^2$-parabel som har höjts 4 steg, dvs $y=x^2+4$